快速幂

快速幂

一、总结

一句话总结：

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3，原来算11次，现在算三次

 

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)，11的二进制是1011，
11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0){
            ans *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 

 

 

二、快速幂

转自或参考：快速幂
https://www.cnblogs.com/yewanting/p/10743018.html

最朴素的求幂方法

也就是平常使用pow函数，最简单的实现就是一直累乘，可以得到这样的代码：

int Pow(int a,int b){

    int ans = 1;

    for(int i = 0;i < b;i++){

        ans *= a;

    }

    return ans;

}

可以看到，算法的时间复杂度是O(n)。为了降低时间复杂度，我们可以使用快速幂算法，将时间复杂度降低到O(logn)，n是幂。

快速幂：

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,

　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次

那么怎么算呢

可以考虑成根据二进制的权值来求解的。那么在关于位运算的部分，我们可以逐位获取b的位，碰到0，就累乘，

碰到1，就将累乘的值并且将乘到答案。由此可以得到代码：

代码如下：

int poww(int a, int b)
{
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0)
    {
        if (b & 1 != 0)
        {
            ans *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 

以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。

🔺快速幂取模

根据之前的博客同余定理，我们知道

（a*b）%m = （（a%m）*（b%m））%m；

其实快速幂取模也是用到这个

那么根据上面的定理可以推导出另一个定理：

(a^b) mod c = (a * a * a........)%c =  ((a%c)*(a%c)*(a%c)*.........)%c = (a%c)^b %c;

这就是快速幂取模

代码如下：

int pow_mod(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    int base = a % c;
    while (b > 0)
    {
        if (b & 1 != 0)
            ans = (ans * base) % c;
        base = (base * base) % c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}