算法与数据结构---2、枚举

算法与数据结构---2、枚举

一、总结

一句话总结：

枚举法又称穷举法，它是根据题意，枚举所有可能状态，并用问题给定的条件来约束状态，检验哪些是需要的，哪些是不需要的。

 

 

1、枚举法的代码结构？

循环+判断语句，枚举几个变量就循环几次

设ai1—状态元素ai的最小值；aik—状态元素ai的最大值(1≤i≤n)，即a11≤a1≤a1k，a21≤a2≤a2k， ai1≤ai≤aik，
……，an1≤an≤ank
for(a1=a11;a1<=a1k;a1++)
     for(a2=a21;a2<=a2k;a2++)
      .....
         for(ai=ai1;ai<=aik;ai++)
             .....
                for(an=an1;an<=ank;an++)
                       if(状态(a1,...,ai...,an)满足检验条件)
                                        输出问题的解;

 

 

2、枚举算法的常用优化？

a、缩小枚举范围

b、减少枚举变量

c、使用其它算法

 

 

3、枚举法敲代码技巧？

弄清楚枚举变量、枚举范围、枚举判断条件，敲代码就非常简单，而且不容易出错了

枚举变量：
枚举范围：
枚举判断条件：

/*

枚举变量：公鸡
枚举范围：公鸡1-14，总计算次数14
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
小鸡%3==0
(100-7x)%4==0


*/
#include <stdio.h>
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 14; i++)
    {
        if ((100 - 7 * i) % 4 == 0)
        {
            int y = (100 - 7 * i) / 4;
            int z = 100 - i - y;
            if (5 * i + 3 * y + z / 3 == 100 && z % 3 == 0)
            {
                printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只\n", i, y, z);
            }
        }
    }

    return 0;
}

 

 

二、枚举

博客对应课程的视频位置：2、枚举
https://www.fanrenyi.com/video/27/252

 

一、枚举法的基本思想

枚举法又称穷举法，它是根据题意，枚举所有可能状态，并用问题给定的条件来约束状态，
检验哪些是需要的，哪些是不需要的。

枚举结构：循环+判断语句。

二、枚举法的框架结构

设ai1—状态元素ai的最小值；aik—状态元素ai的最大值(1≤i≤n)，即a11≤a1≤a1k，a21≤a2≤a2k， ai1≤ai≤aik，
……，an1≤an≤ank
for(a1=a11;a1<=a1k;a1++)
     for(a2=a21;a2<=a2k;a2++)
      .....
         for(ai=ai1;ai<=aik;ai++)
             .....
                for(an=an1;an<=ank;an++)
                       if(状态(a1,...,ai...,an)满足检验条件)
                                        输出问题的解;

三、枚举法的优缺点

用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大，解题效率不高，如果枚举范围太大（一般以不超过两百万次为限），在时间上就难以承受。

但枚举算法的思路简单，程序编写和调试方便，比赛时也容易想到，在比赛中，时间是有限的，我们比赛的最终目标是求出问题解，
因此，如果题目的规模不是很大，在规定的时间与空间限制内能够求出解，那么最好是采用枚举法。

四、枚举算法的优化

a、缩小枚举范围
b、减少枚举变量
c、使用其它算法

五、枚举法敲代码技巧（注意）

弄清楚枚举变量、枚举范围、枚举判断条件，敲代码就非常简单，而且不容易出错了

枚举变量：
枚举范围：
枚举判断条件：

 

三、百钱买百鸡问题及优化

博客对应课程的视频位置：2、枚举
https://www.fanrenyi.com/video/27/252

1、问题

百钱买百鸡
公鸡一只五块钱，母鸡一只三块钱，小鸡一块钱三只，
现在要用一百块钱买一百只鸡，每种鸡最少一只，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

2、分析及代码实现

枚举变量：公鸡、母鸡、小鸡
枚举范围：公鸡、母鸡、小鸡都是1-100次，总计算次数100*100*100
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100
小鸡%3==0

 

/*

百钱买百鸡
公鸡一只五块钱，母鸡一只三块钱，小鸡一块钱三只，
现在要用一百块钱买一百只鸡，每种鸡最少一只，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？


枚举变量：公鸡、母鸡、小鸡
枚举范围：公鸡、母鸡、小鸡都是1-100次，总计算次数100*100*100
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100
小鸡%3==0

*/

#include <stdio.h>
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 100; i++)
        for (int j = 1; j <= 100; j++)
            for (int k = 1; k <= 100; k++)
            {
                if (5 * i + 3 * j + k / 3 == 100 && k % 3 == 0 && i + j + k == 100)
                {
                    printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只\n", i, j, k);
                }
            }
    return 0;
}

 

3、优化一：缩小枚举范围

百钱百鸡问题优化一：

5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
公鸡+母鸡+小鸡 = 100

缩小枚举范围

枚举变量：公鸡、母鸡、小鸡
枚举范围：公鸡1-18，母鸡1-32 ，小鸡1-98次，总计算次数18*32*98
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100
小鸡%3==0

 

/*

百钱百鸡问题优化一：

5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
公鸡+母鸡+小鸡 = 100

缩小枚举范围

枚举变量：公鸡、母鸡、小鸡
枚举范围：公鸡1-18，母鸡1-32 ，小鸡1-98次，总计算次数18*32*98
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100
小鸡%3==0


*/

#include <stdio.h>
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 18; i++)
        for (int j = 1; j <= 32; j++)
            for (int k = 1; k <= 98; k++)
            {
                if (5 * i + 3 * j + k / 3 == 100 && k % 3 == 0 && i + j + k == 100)
                {
                    printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只\n", i, j, k);
                }
            }
    return 0;
}

 

 

 

4、优化二：减少枚举变量

/*

钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100

设公鸡 x 只，母鸡 y 只，小鸡 z 只

5x+3y+1/3z = 100
x+y+z = 100

枚举了x和y之后，z的值是固定的，z=100-x-y
所以这个时候，z就不用枚举了

枚举变量：公鸡，母鸡
枚举范围：公鸡1-18,母鸡1-32，总计算次数 18*32
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
小鸡%3==0

优化：减少了枚举的变量
减少枚举的变量之后，枚举的次数大幅减少

*/
#include <stdio.h>
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 18; i++)
        for (int j = 1; j <= 32; j++)
        {
            int z = 100 - i - j;
            if (5 * i + 3 * j + z / 3 == 100 && z % 3 == 0)
            {
                printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只\n", i, j, z);
            }
        }

    return 0;
}

 

 

 

5、优化三：根据题目关系，进一步减少枚举变量

/*

钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
总鸡数=100：公鸡+母鸡+小鸡 = 100

设公鸡 x 只，母鸡 y 只，小鸡 z 只

5x+3y+1/3z = 100
x+y+z = 100

第一个式子*3
15x+9y+z = 300
x+y+z = 100

得：
14x+8y=200
即
7x+4y=100
y=(100-7x)/4
z=100-x-(100-7x)/4

根据这个式子，有x之后，我们就可以得到y，从而得到z
这里7x小于等于96，x取值为1-14

枚举变量：公鸡
枚举范围：公鸡1-14，总计算次数14
枚举判断条件：
钱数=100：5公鸡+3母鸡+1/3小鸡 = 100
小鸡%3==0
(100-7x)%4==0


*/
#include <stdio.h>
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 14; i++)
    {
        if ((100 - 7 * i) % 4 == 0)
        {
            int y = (100 - 7 * i) / 4;
            int z = 100 - i - y;
            if (5 * i + 3 * y + z / 3 == 100 && z % 3 == 0)
            {
                printf("公鸡 %2d 只，母鸡 %2d 只，小鸡 %2d 只\n", i, y, z);
            }
        }
    }

    return 0;
}