一些有用的结论及推导过程
一些结论
\[\begin{aligned}
j\times(i-j)&=\binom{i}{2}-\binom{j}{2}-\binom{i-j}{2}\\
\end{aligned}
\]
用来消掉卷积时指数上的 \(ij\) 项。
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=[n=i]\\
\end{aligned}
\]
各种反演
子集反演
\[\begin{aligned}
F_S=\sum\limits_{T\subseteq S}G_T\iff G_S=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}F_T\\
F_S=\sum\limits_{T\supseteq S}G_T\iff G_S=\sum\limits_{T\supseteq S}(-1)^{|S|-|T|}F_T\\
\end{aligned}
\]
证明
\[\begin{aligned}
F_S&=\sum\limits_{T\subseteq S}G_T\\
&=\sum\limits_{T\subseteq S}\sum\limits_{U\subseteq T}(-1)^{|T|-|U|}F_U\\
&=\sum\limits_{U\subseteq S}F_U\sum\limits_{U\subseteq T\subseteq S}(-1)^{|T|-|U|}\\
&=\sum\limits_{U\subseteq S}F_U[U=S]\\
&=F_S
\end{aligned}
\]
二项式反演
\[\begin{aligned}
F_n=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}G_i\iff G_n=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F_i\\
F_n=\sum\limits_{i=n}^{m}\binom{i}{n}G_i\iff G_n=\sum\limits_{i=n}^{m}(-1)^{n-i}\binom{i}{n}F_i\\
\end{aligned}
\]
泰勒展开
\[\begin{aligned}
\exp(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}\\
\ln(1-x)&=-\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{x}{i}\\
\end{aligned}
\]
多项式牛顿迭代
给定多项式 \(g(x)\)，已知有 \(f(x)\) 满足：\(g(f)\equiv0\bmod x^n\)。求 \(f(x)\bmod x^n\)。
设 \(f_0(x)=f(x)\bmod x^\frac{n}{2}\)。
\[\begin{aligned}
g(f)&\equiv0\bmod x^\frac{n}{2}\\
g(f_0)&\equiv0\bmod x^\frac{n}{2}\\
(f-f_0)^i&\equiv0\bmod x^\frac{n}{2},i\ge2\\
g(f)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{g^{(i)}(f_0)}{i!}(f-f_0)^i\\
&=g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0)\\
&\equiv0\bmod x^n\\
f&\equiv f_0-\frac{g(f_0)}{g'(f_0)}\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
应用
下面设给出的多项式为 \(h(x)\)
多项式求逆：
\[\begin{aligned}
g(f(x))&=\frac{1}{f(x)}-h(x)\\
f&\equiv f_0+\frac{\frac{1}{f_0}-h}{\frac{1}{f^2_0}}\bmod x^n\\
&=2f_0-hf^2_0\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
多项式开根：
\[\begin{aligned}
g(f(x))&=f^2(x)-h(x)\\
f&\equiv f_0-\frac{f_0^2-h}{2f_0}\bmod x^n\\
&=\frac{f_0^2+h}{2f_0}\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
多项式 exp：
\[\begin{aligned}
g(f(x))&=\ln(f(x))-h(x)\\
f&\equiv f_0-\frac{\ln(f_0)-h}{\frac{1}{f_0}}\bmod x^n\\
&=f_0(1+h-\ln(f_0))\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
多项式 ln
\[\ln(f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}\\
\ln(f(x))=\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx\\
\]
多项式三角函数
仅在模意义下存在 \(i\) 时使用。
\[\sin(f(x))=\frac{e^{if(x)}-e^{-if(x)}}{2i}\\
\cos(f(x))=\frac{e^{if(x)}+e^{-if(x)}}{2}\\
\]
exp 组合意义
用来将有标号的方案变为划分的方案。
有标号小球放入任意个数非空无标号盒子，每个盒子放入 \(i\) 个球时方案数为 \(f_i\)。（\(f_0=0\)）
\[\begin{aligned}
g_{k,i}&=\frac{i!}{k!}\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}}{a_j!}\\
F(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{f_ix^i}{i!}\\
G_k(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{g_{k,i}x^i}{i!}\\
&=\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^i\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}}{a_i!}\\
&=\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}x^{a_j}}{a_j!}\\
&=\frac{1}{k!}F^k(x)\\
G(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}G_i(x)\\
&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{F^i(x)}{i!}\\
&=\exp(F(x))\\
\end{aligned}
\]
经典模型（实在不知道该写什么）
无标号小球放入任意个数非空有标号盒子，每个盒子放入 \(i\) 个球时方案数为 \(f_i\)。（\(f_0=0\)）
\[\begin{aligned}
g_{k,i}&=\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{i=1}^{k}f_{a_i}\\
F(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}f_ix^i\\
G_k(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}g_{k,i}x^i\\
&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^i\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{j=1}^{k}f_{a_j}\\
&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^{k}a_j=i}\prod_{j=1}^{k}f_{a_j}x^{a_j}\\
&=F^k(x)\\
G(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}G_k(x)\\
&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}F^k(x)\\
&=\frac{1}{1-F(x)}\\
\end{aligned}
\]
欧拉变换
用来将无标号的方案变为划分的方案。
无标号小球放入任意个数非空无标号盒子，每个盒子放入 \(i\) 个球时方案数为 \(f_i\)。（\(f_0=0\)）
\[\begin{aligned}
F(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}f_ix^i\\
\mathcal E_F(x)&=\prod\limits_{i=1}^{+\infty}(1-x^i)^{-f_i}\\
&=\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}-f_i\ln(1-x^i))\\
&=\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}f_i\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{x^{ij}}{j})\\
&=\exp(\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j}\sum\limits_{i=1}^{+\infty}f_ix^{ij})\\
&=\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
\end{aligned}
\]
无标号有根树计数
一颗无标号有根树去掉根节点后变为一个无标号有根树森林。
多项式牛顿迭代解法1：
\[\begin{aligned}
F(x)&=x\mathcal E_F(x)\\
F(x)&=x\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
F(x)\exp(-F(x))&=x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
G(F)&=x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})-F(x)\exp(-F(x))\\
F(x)&=F_0(x)-\frac{G(F_0)}{G'(F_0)}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+\frac{x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})-F_0(x)\exp(-F_0(x))}{\exp(-F_0(x))-F_0(x)\exp(-F_0(x))}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+\frac{x\mathcal E_{F_0}(x)-F_0(x)}{1-F_0(x)}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+1+\frac{x\mathcal E_{F_0}(x)-1}{1-F_0(x)}\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
多项式牛顿迭代解法2：
\[\begin{aligned}
F(x)&=x\mathcal E_F(x)\\
F(x)&=x\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
F(x)\exp(-F(x))&=x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
G(F)&=x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\exp(F(x))-F(x)\\
F(x)&=F_0(x)-\frac{G(F_0)}{G'(F_0)}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+\frac{x\exp(\sum\limits_{i=2}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})-F_0(x)\exp(-F_0(x))}{\exp(-F_0(x))-F_0(x)\exp(-F_0(x))}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+\frac{x\mathcal E_{F_0}(x)-F_0(x)}{1-F_0(x)}\bmod x^n\\
&=F_0(x)+1+\frac{x\mathcal E_{F_0}(x)-1}{1-F_0(x)}\bmod x^n\\
\end{aligned}
\]
分治 NTT 解法：
\[\begin{aligned}
F(x)&=x\mathcal E_F(x)\\
F(x)&=x\exp(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{F(x^i)}{i})\\
F'(x)&=\mathcal E_F(x)+x\mathcal E_F(x)\sum\limits_{i=1}^{+\infty}x^{i-1}F'(x^i)\\
xF'(x)&=F(x)+F(x)\sum\limits_{i=1}^{+\infty}x^iF'(x^i)\\
G(x)&=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}x^iF'(x^i)\\
&=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}jf_ix^{ij}\\
&=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}x^i\sum\limits_{j|i}jf_j\\
xF'(x)&=F(X)+F(x)G(x)\\
\sum\limits_{i=0}^{+\infty}if_ix^i&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^i(f_i+\sum\limits_{j=0}^{+\infty}f_jg_{i-j})\\
f_i&=\frac{1}{i-1}\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_jg_{i-j}\\
\end{aligned}
\]
无标号无根树计数
强制重心为根，则所有子树大小 \(\le\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)，存在 \(>\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 的子树的方案均不合法。方案数为 \(f_n-\sum\limits_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n-1}f_if_{n-i}\)。还要考虑两个重心的情况，此时 \(n\) 为偶数，除了两重心对称的情况都被重复算了一遍，最终减掉 \(\binom{f_{\frac{n}{2}}}{2}\)。最终算下来每个位置减掉 \([x^i]F^2(x)-[2|n]f_\frac{n}{2}\)。
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