代数结构与组合数学

（0）记号与约定

• 常见集合记号
  • \(C:\) 复数集，\(R:\) 实数集，\(Q:\) 有理数集，\(Z:\) 整数集，\(N\) 自然数集，\(N^{*},R^{*}\) 正整数，正实数集。
  • \(M_n(B):\) 数集为 \(B\) 的所有 \(n\) 阶矩阵的集合。
  • \(P(B):\) \(B\) 的幂集，即 \(B\) 的所有非空子集。
  • \(R(B):\) \(B\) 上所有二元关系的集合。
  • \(A^{B}:\) \(B\) 对 \(A\) 的所有映射的集合。
  • \(Z_n:\) \(\mod n\) 的剩余系。
• 映射
  • \(f:A\to B\) 表示了一个从集合 \(A\) 中元素到 \(B\) 中元素的映射 \(f\)，即 \(\forall x\in A,f(x)\in B\)。
  • 单射：若 \(\forall x,y\in A,x\neq y\) 有 \(f(x)\neq f(y)\) 则称 \(f\) 为单射。
  • 满射：若 \(\forall x\in B,\)存在 \(y\in A\) 使得 \(f(y)=x\) 则称 \(f\) 为满射。
  • 双射：同时是单射和满射的 \(f\) 称为双射。
• 等价关系
  • 用 \(x\sim y\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 是等价的。
  • 自反性：对于所有 \(x\) 均有 \(x\sim x\)。
  • 对称性：若 \(x\sim y\) 则 \(y\sim x\)。
  • 传递性：若 \(x\sim y,y\sim z\)，则 \(x\sim z\)。

（1） 二元运算及其性质

设 \(A\) 是全集，则 \(f：A^n\to A\) 称为 \(A\) 上的 \(n\) 元运算。

• 封闭性：\(\forall x_1,x_2\dots x_n\in A,f_n(x_1,x_2\dots x_n)\in A\)。
• \(0\) 元运算：指定了 \(A\) 中的一个元素。

常见二元运算

• \(Z,Q,R,C\): 加法 +， 乘法 $\times $。

• \(Mn(B):\) 矩阵加法 +，矩阵乘法 $\times $。

• \(P(B):\) 集合交 \(\cap\)，集合并 \(\cup\)，对称差 \(\oplus\)，相对差 \(-\)。

• \(A^A:\) 复合 \(\circ\)。

二元运算的算率

• 交换律： \(a\circ b=b\circ a\)

• 结合律： \((a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\)

• 幂等律： \(a\circ a=a\) ，例子： \(\cap,\cup\)

• 分配率:
  \(a\circ (b\ast c)=(a\ast b)\circ (a\ast c)\)

  \((b\ast c)\circ a=(b\ast a)\circ (c\ast a)\)

• 吸收率: 设 \(\ast,\circ\) 可交换

  \(a\ast (b\circ c)=a,a\circ (b\ast c)= a\)

  例子：\(\cap,\cup\)

特殊元素

• 单位元 \(e\)：\(\forall x\in A\) 均有 \(e\circ a=a\circ e = a\)
• 零元 \(\theta\)：\(\forall x\in A\) 均有 \(\theta \circ x=x\circ \theta =\theta\)
• 幂等元：满足 \(x\circ x=x\) 的 \(x\)
• 逆元：若对于元素 \(x\)，存在 \(y\in A\) 满足 \(x\circ y=y\circ x=e\)，则称 \(x\) 可逆，\(y\) 为 \(x\) 的逆元，记作 \(x^{-1}=y\)

基本性质：

单位元和零元若存在，则是唯一的。

若 \(|A|>1\)，则 \(e\neq \theta\)

可逆元素 \(x\) 的逆元 \(x^{-1}\) 是唯一的。

证明略。

消去律

若 \(\forall a,b,c\in A\)

\(a\circ b=a\circ c(a\neq \theta)\Rightarrow b=c\)

\(b\circ a=c\circ a(a\neq \theta)\Rightarrow b=c\)

则称 \(\circ\) 满足消去律。

（2）代数系统

一个代数系统 \(V\) 由载体 \(A\)，运算集 \(\Omega\) 和代数常数集 \(K\)（\(0\) 元运算集） 构成，记为
\(V=<A,\Omega,K>\) 或者 $V=<A,o_1,o_2\dots o_r> $ 其中 \(o_1\dots o_r\) 为 \(A\) 上的运算。

同种和同类型的代数系统

若两个代数系统 \(V_1=<A,o_{11},o_{12}\dots o_{1r}>\) 和 \(V_2=<B,o_{21},o_{22}\dots o_{2r}>\) 满足 \(o_{1i}\) 和 \(o_{2i}\) 的运算元数相同，则称 \(V_1,V_2\) 是同类型的。

若两个同类型的代数系统上的所有算率均相同，则称这两个代数系统是同种的。

子代数

对于代数系统 \(V=<A,o_1,o_2\dots o_r>\) ，若 \(B\) 是 \(A\) 的子集，且 \(B\) 对于 \(o_1,o_2\dots o_r\)
运算均封闭，则 \(V'=<B,o_1,o_2\dots o_r>\) 为 \(V\) 的子代数，特别的，若 \(B\) 是 \(A\) 的真子集 则称为 真子代数。

平凡子代数：\(V'=<A,o_1\dots o_r>\) 总是 \(V\) 的子代数，且如果代数常数集 \(K\) 对于这些运算均封闭则 \(V'=<K,o_1\dots o_r>\)
也是一个平凡的子代数。

积代数

对于同类型的代数系统 \(V_1=<A,o_{11},o_{12}\dots o_{1r}>\) 和 \(V_2=<B,o_{21},o_{22}\dots o_{2r}>\)

\(V_1\) 和 \(V_2\) 的积代数 \(V_1\times V_2=<A\times B,o_1,o_2\dots o_r>\)，即 \(V_1\times V_2\) 的载体是 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积，运算 \(o_i\)
满足

\[\forall x_1,x_2\dots x_k\in A,y_1,y_2\dots y_k\in B,o_i((x_1,y_1),(x_2,y_2)\dots (x_k,y_k))=(o_{1i}(x_1,x_2\dots x_k),o_{2i}(y_1,y_2\dots y_k)) \]

\(V_1,V_2\) 被称为 \(V_1\times V_2\) 的因子代数。

积代数的性质

若 \(V_1,V_2\) 均满足某种算率 （消去律除外），则 \(V_1\times V_2\) 也满足这种算率。

积代数与其因子代数式同类型的，若不含消去律则是同种的。

（3）同态

对于同类型的代数系统 \(V_1=<A,o_{11},o_{12}\dots o_{1r}>\) 和 \(V_2=<B,o_{21},o_{22}\dots o_{2r}>\)

若映射 \(f:A\to B\) 满足 ：

\[\forall i\in [1,r],x_1,x_2\dots x_k\in A,f(o_{1i}(x_1,x_2\dots x_k))=o_{2i}(f(x_1),f(x_2)\dots f(x_k)) \]

则称 \(f\) 是一个 \(V_1\to V_2\) 的同态映射。

特别的：

• 若 \(f\) 是单射，则称为单同态
• 若 \(f\) 是满射，则称为满同态
• 若 \(f\) 是双射，则称为 同构，也记 \(V_1\) 同构于 \(V_2\)。
• 若 \(V_1=V_2\)，则 \(f\) 称为自同态。

Lemma（同态的符合仍是同态）：若 \(f: V_1\to V_2,g:V_2\to V_3\) 均是同态映射，则 \((g\circ f)：V_1\to V_3\) 也是同态映射。

Proof.

\(\forall x_1,x_2\dots x_k\in V_1\)

\[\begin{align} (g\circ f)(o_1(x_1,x_2\dots x_k))&=g(f(o_1(x_1,x_2\dots x_k)))\\ &=g(o_2(f(x_1),f(x_2)\dots f(x_k)))\\ &=o_3((g\circ f)(x_1),(g\circ f)(x_2)\dots (g\circ f)(x_k)) \end{align} \]

推论：代数系统的同构具有自反，对称，传递性。

同态像

设 \(\varphi\) 是代数系统 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的同态，则 \(<\varphi(A),o_{21},o_{22}\dots o_{2r}>\) 是 \(V_2\) 的子代数，
称 \(\varphi(A)\) 为 \(V_1\) 在 $\varphi $ 下的 同态像。

证明：对于 \(y_1,y_2\dots y_k\in \varphi (A)\)，存在 \(x_1\dots x_k\) 使得 \(\varphi(x_i)=y_i\)，那么
\(o_{2i}(y_1,y_2\dots y_k)=o_{2i}(\varphi(x_1),\varphi(x_2),\dots \varphi(x_k))=\varphi(o_{1i}(x_1,x_2\dots x_k))\in \varphi(A)\)，故 \(A\) 对于 \(o_{21},o_{22}\dots o_{2r}\) 均封闭
，即 \(<\varphi(A),o_{21},o_{22}\dots o_{2r}>\) 是 \(V_2\) 的子代数。

Lemma（同态像的基本性质）: 若 \(f\) 是满同态，则 \(V_1\) 中的算律在 \(V_2\) 中仍满足，\(V_2\) 中的单位元(零元，逆元同理) \(e_2=f(e_1)\)

Proof.

因为 \(f\) 是满同态，故对于任意 \(y\in V_2\) 存在 \(x\in V_1,f(x)=y\)
以交换律为例:

\[\begin{align} x\circ_1 y&=y\circ_1 x\\ f(x\circ_1 y)&=f(y\circ_1 x)\\ f(x)\circ_2 f(y)&=f(y)\circ_2 f(x)\\ \end{align}\]

以单位元为例：

\[\begin{align} e_1\circ_1 x&=x\circ_1 e_1=x\\ f(e_1\circ_1 x)&=f(x\circ_1 e_1)=f(x)\\ f(e_1)\circ_2 f(x) &= f(x)\circ_2 f(e_1) = f(x)\\ \end{align}\]

特别的：

• 若 \(f\) 不是满同态，则上述性质仅在 \(f\) 的同态像中满足。
• 消去律不一定能够满足。

（4）同余关系与商代数

同余关系

对于代数系统 \(V\)，\(\sim\) 是 \(V\) 上的等价关系，若 \(\forall x_1,x_2\dots x_k,y_1,y_2\dots y_k\)
满足 \(x_i\sim y_i\)，均有：

\[o(x_1,x_2\dots x_k)\sim o(y_1,y_2\dots y_k) \]

则称 \(\sim\) 对于 \(o\) 有置换性质，若对所有运算均有置换关系则 $\sim $ 被称为 同余关系，
关于 $\sim $ 相等的类称为 同余类。

用符号 \([a]\) 表示 \(A\) 中和 \(a\) 处于一个等价类的元素集合，即 \([a]=\{x|x\in A,x\sim a\}\)。

恒等关系：每个元素各自称为一个同余类。

全域关系：所有元素形成一个同余类。

故任意代数系统均有同余关系。

商代数

对于集合 \(A\) 与集合 \(A\) 上的等价关系 \(R\)，\(A\) 关于 \(R\) 的商集 \(A/R=\{[x]|x\in A\}\)，即所有的等价类集合。

对于代数系统 \(V\) 与 \(V\) 上的同余关系 \(R\)，商代数 \(V/R=<A/R,o_1',o_2'\dots o_r'>\)。其中运算 \(o_i'\) 定义为：

\[o_i'([x_1],[x_2]\dots [x_k])=[o_i(x_1,x_2\dots x_k)] \]

良定义：对于函数 \(f\)，若 \(\forall a=b,f(a)=f(b)\) 则 \(f\) 是良定义的。

不良定义的例子：\(f(\frac{p}{q})=pq\)，则 \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4},f(\frac{2}{4})\neq f(\frac{1}{2})\)。

Lemma. 商代数是良定义的。

Proof.
若 \(a_1,a_2\dots a_k,b_1,b_2\dots b_k\) 满足 \(a_i\sim a_k\)，则

\[\begin{align} o_i'([a_1],[a_2],\dots [a_k])&=[o_i(a_1,a_2\dots a_k)]\\ &=[o_i(b_1,b_2\dots b_k)]\\ &= o_i'([b_1],[b_2],\dots [b_k])\\ \end{align}\]

Lemma（商代数的基本性质）. 商代数保持原有代数系统的算律（消去律除外）以及幺元，零元，逆元

证明与上文中同态像性质证明类似，略去。

（5）同态，同余关系与商代数的联系

Lemma(同态导出的同余关系). 对于同态 \(f:V_1\to V_2\)，关系 $\sim $ 定义为：若 \(f(x)=f(y)\) 则 \(x\sim y\)，则 $\sim $ 构成了同余关系。

Proof.
\(\forall x_1,x_2\dots x_k,y_1,y_2\dots y_k\in V_1\) 满足 \(f(x_i)=f(y_i)\).

\[\begin{align} f(o_1(x_1,x_2,\dots x_k))&=o_2(f(x_1),f(x_2)\dots f(x_k))\\ &=o_2(f(y_1),f(y_1)\dots f(y_k))\\ &=f(o_1(y_1,y_2\dots y_2))\\ \end{align}\]

即 \(\sim\) 对 \(o_1\) 满足置换性质，$\sim $ 是同余关系。

称 \(\sim\) 为同态 \(f\) 导出的同余关系。

Lemma (商代数是原代数的同态像). 设 \(V\) 是代数系统，\(R\) 是 \(V\) 上的同余关系，则映射 \(f:A\to A/R,f(a)=[a]\) 是同态

Proof.
\(\forall x_1,x_2\dots x_kV_1\).

\[\begin{align} f(o_i(x_1,x_2,\dots x_k))&=[o_i(x_1,x_2,\dots x_k)]\\ &=o_i'([x_1],[x_2]\dots [x_k])\\ &=o_i'(f(x_1),f(x_2)\dots f(x_k))\\ \end{align}\]

称 \(f\) 为 自然映射。

Lemma(同态基本定理).对于代数系统 \(V_1,V_2\),\(f\) 是 \(V_1\to V_2\) 的同态，\(f\) 在 \(V_1\) 上导出的同余关系是 \(R\)，则商代数 \(V_1/R\) 同构于 \(V_1\) 在 \(f\) 下的同态像。

Proof.
定义映射 \(h\) 满足 \(h([a])=f(a)\)，则若 \(aR b\Rightarrow h([a])=f(a)=f(b)=h([b])\)，即 \(h\) 是良定义的。

\(\forall x_1,x_2\dots x_kV_1\).

\[\begin{align} h(o_1([x_1],[x_2],\dots [x_k]))&=h([o_1(x_1,x_2,\dots x_k)])\\ &=f(o_1(x_1,x_2,\dots x_k))\\ &=o_2(f(x_1),f(x_2)\dots f(x_k))\\ &=o_2(h([x_1]),h([x_2])\dots h([x_k]))\\ \end{align}\]

即 \(h\) 是同态，同时容易说明 \(h\) 是双射，故 \(h\) 是 \(V_1/R\to f(V_1)\) 的同构。

（6）半群和独异点

设 \(\circ\) 是 \(S\) 上的封闭二元运算，且 \(\circ\) 具有结合律，则代数系统 \(<S,\circ>\) 称为 半群。

含有单位元的半群，被称为独异点（幺半群）。

对于半群 \(<S,\circ>\)， \(a\in S\)，定义 \(a\in S\) 的 \(n\) 次幂为：

• \(a^1=a,a^{n+1}=(a^n)a\)。
• 如果是独异点，那么 \(a^0=e\)。

具有基本性质：

• \(a^{n+m}=a^na^m\)

• \(a^{nm}=(a^n)^m\)

Lemma：每个半群可以拓展成一个独异点

Proof. 只需要加入一个幺元即可，易证明满足结合律。

子半群

对于半群 \(<S,\circ>\)，如果 \(S\) 的非空子集 \(B\) 对于 \(\circ\) 封闭，则 \(<B,\circ>\) 称为 \(<S,\circ>\) 的子半群，同理定义 子独异点。

Lemma. 半群 \(S\) 的子半群的非空交集仍是子半群，子独异点的交集仍是子独异点

Proof. 容易证明。

对于 \(S\) 的子集 \(B\)，定义 \(B\) 生成的子半群 \(<B>\) 为最小的包含 \(B\) 的子半群，那么可以有两种方式得到 \(<B>\)：

• \(<B>\) 是 \(S\) 所有包含 \(B\) 的子半群的交集。
• 令 \(B^n=\{b_1b_2\dots b_n|b_i\in B\}\)，则 \(<B>=\cup_{n\in Z^{+}}B^n\)

半群的同态

Lemma.设 \(V=<S,*>\) 是半群，\(V'=<S^S,\circ>\)，其中 \(\circ\) 是复合，则 \(V'\) 也是半群且存在 \(V\) 到 \(V'\) 的同态。

Proof. 令 \(f_a(x):S\to S,f_a(x)=a*x\)
则 \(f_a\in S^S\)。

构造 \(\varphi(a)=f_a\)，则 \(\varphi(a*b)=f_{a*b},\varphi(a)\circ \varphi(b)=f(a)\circ f(b)\)

任取 \(x\)，\(f_{a*b}(x)=(a*b)*x,f_a(x)f_b(x)=f_a(f_b(x))=a*b*x\)

故 \(\varphi(a)\) 是 \(V\to V_1\) 的同态。

Lemma.设 \(V=<S,*,e>\) 是独异点，则存在 \(T\subseteq S^{S}\) 使得 \(V\) 同构于 \(<T,\circ,I_S>\)

Proof. 同上只需要额外验证 \(\varphi(e)=f_e=I_S\) 成立，故 \(\varphi\) 是同态。

考虑 \(a\neq b,f_a(x)=f_b(x)\Rightarrow a*x=b*x\)，当 \(x=e\) 可推出 \(a=b\) 矛盾，即 \(\varphi\) 是单射。

此时取\(S\) 在 \(\varphi\) 下的同态像 \(T=\varphi(S)\) 即可让 \(\varphi\) 是双射，故同构。

（七）群

一个群是一个非空代数系统 \(<G,\circ,^{-1},e>\)，即在载体上定义了二元运算 \(\circ\)，含有单位元 \(e\)，并且每个元素 \(a\) 有逆元 \(a^{-1}\)。

平凡群：只含单位元的群。

Abel 群：\(\circ\) 满足交换律的群。

群 \(G\) 的阶 \(|G|\) ：\(G\) 中元素个数。

元素 \(a\) 的阶 \(|a|\)：最小的正整数 \(r\) 使得 \(a^r=e\)

群的基本性质

Lemma 1. 一个有限群 \(G\) 每个元素 \(a\) 都存在阶，且 \(|a|\leq |G|\)。

Proof.

任取 \(a\in G\)，考察 \(a,a^2,a^3\dots\)，设第一次出现重复元素是 \(a^k(k>1)\)，则根据鸽巢原理一定满足 \(k\leq |G|+1\)
，则设该元素上一次出现是 \(a^j\)，则 \(a^ja^{k-j}=a^j\)，可得 \(a^{k-j}=e\)，即每个元素都存在阶且 \(|a|\leq |G|\)。

Lemma 2. 若半群 \(<G,\circ >\)，存在右单位元 \(e\)，且每个元素有右逆元 \(a^{-1}\) 则 \(G\) 是群。

Proof.

\(\forall a,ee=e\Rightarrow e(aa^{-1})=(aa^{-1})\Rightarrow (ea)a^{-1}=aa^{-1}\Rightarrow ea=a\)

\(aa^{-1}=e\)，设 \(a^{-1}\) 的右逆元是 \(b\)，则 \(a^{-1}b=e\Rightarrow aa^{-1}b=a\Rightarrow eb=a\Rightarrow b=a\)

Lemma 3. 对于一个群 \(G\)，方程 \(ax=b\) 和 \(ya=b\) 均有解且有唯一解。

Proof.

\(ax=b \Rightarrow x=a^{-1}b\)，假设另有解 \(c\) 满足 \(ac=b\)。
则 \(c=ec=(a^{-1}a)c=a^{-1}(ac)=a^{-1}b\)

Lemma 4（Lemma 3 的逆命题）. 对于一个半群 \(G\)，若所有方程 \(ax=b\) 和 \(ya=b\) 均有解则 \(G\) 是群。

Proof.

任取 \(a\)，设 \(e\) 是 \(ax=a\) 的解。

则 \(\forall b\in G\)，设 \(c\) 满足 \(ca=b\) ，则 \(be=cae=ca=b\)，故 \(e\) 为单位元。
则容易得出每个元素右逆元，进而证明是群。

Lemma 5（消去律）. 若 \(ab=ac\) 则 \(b=c\)。

Proof. 显然。

Lemma 6（Lemma 5 的逆命题）.若有限半群 \(G\) 不含零元，且消去律成立，则 \(G\) 是群。

Proof.

设 \(G=\{a_1,a_2\dots a_n\}\)，则显然有 \(a_iG\subseteq G\)，若 \(|a_iG|<|G|\) 则有 \(a_ia_j=a_ia_k\Rightarrow a_j=a_k\) 矛盾，故 \(|a_iG|=|G|\)。

那么对于任意 \(a_ix=a_j\) 均有唯一的 \(x\) 成立，根据Lemma 3 可知 \(G\) 是群。

Lemma 7. 对于 \(a\in G,|a|=r\)，若 \(a^k=e\) 则 \(r|k\) 且 \(|a|=|a^{-1}|=|bab^{-1}|\) 。

Proof.

由定义知 \(k\geq r\)，设 \(k=pr+q(0\leq q\leq r-1)\)，则 \(a^k=a^{pr+q}=(a^r)^pa^q=a^q=e\Rightarrow q=0\) 即 \(r|k\)

\((a^{-1})^{r}=(a^r)^{-1}=e\Rightarrow |a^{-1}||r\)，同理可得 \(r||a^{-1}|\) 故 \(r=|a^{-1}|\)。

\((bab^{-1})^r=ba^{r}b^{-1}=e\Rightarrow r||bab^{-1}|\) 同理可得 \(|bab^{-1}|=|a|\)

Lemma 8. 若 \(|a|=r\)，则 \(|a^t|=\frac{r}{\gcd(r,t)}\)

Proof.
设 \(d=\gcd(r,t),s=|a^t|\)，则 \(r=qd,t=pd,\gcd(p,q)=1\)。

\((a^t)^q=(a^t)^{r/d}=(a^p)^r=(a^r)^p=e\Rightarrow s|q\)

\((a^t)^{s}=e\Rightarrow r|ts\Rightarrow qd|pds\Rightarrow q| ps\Rightarrow q|s\)

故 \(q=s\)，即 \(|a^t|=\frac{r}{\gcd(r,t)}\)。

子群

若 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子代数，则 \(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H\leq G\)。

Lemma. (子群判定定理)

• （一）若 \(\forall a,b\in H\)，\(ab\in H,b^{-1}\in H\) 则 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。
• （二）若 \(\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H\) 则 \(H\) 是 \(G\) 的子群。
• （三）若 \(H\) 是有限群，且 \(\forall a,b\in H,ab\in H\)，则 \(H\) 是\(G\) 的子群。

Proof.

（一）：证明简单，略。

（二）：\(aa^{-1}=e\in H,a^{-1}=ea^{-1}\in H\)，\(ab=a(b^{-1})^{-1}\in H\)

（三）：因为 \(H\) 是有限群，所以存在 \(i<j\) 使得 \(a^i=a^j\) 即 \(a^{j-i}=e,a^{j-i-1}=a^{-1}\in H\) ，接下来由 (一) 可证。

重要的子群及其证明

• 由 \(a\) 生成的子群，记作 \(<a>\)。

• 中心 \(C=\{x|\forall a,ax=xa\}\)，即与其他元素均可交换的元素集合，总是有 \(e\in C\)。

Proof.
\(\forall a,b\in C,x\in G,(ab)x=x(ab)\Rightarrow ab\in C,a^{-1}x=a^{-1}xaa^{-1}=a^{-1}axa^{-1}=xa^{-1}\Rightarrow a^{-1}\in C\)

• \(a\) 的正规化子 \(N(a)=\{x|xa=ax\}\)，即对 \(a\) 可交换的元素集合。

Proof.
\(\forall b,c\in N(a),x(bc^{-1})=bxc^{-1}b(c^{-1}c)xc^{-1}=(bc^{-1})x\)

• \(H\) 的正规化子 \(N(H)=\{x|xHx^{-1}=H\}\)

• 共轭子群 \(xHx^{-1}=\{xhx^{-1}|h\in H\}\)

• 子群的交 \(A,B\leq G,A\cap B\leq G\)

Lemma. 若 \(A,B\leq G\)，且 \(A\cup B\leq G\)，则 \(A\subseteq B\) 或者 \(B\subseteq A\)

Proof.

假设 \(a\in A \land a\notin B,b\in B\land b\notin A\)。

若 \(ab\in A\)，则 \((ab)^{-1}a=b^{-1}a^{-1}a=b^{-1}\in A\) 矛盾，同理 \(ab\notin B\)，故与 \(ab\in A\cup B\) 矛盾。

Lemma. 若 \(H_1,H_2\leq G\)，则 \(H_1H_2\leq G\Leftrightarrow H_1H_2=H_2H_1\) 。

Proof.

左推右：

任取 \(h\in H_1H_2\)，\(h^{-1}=h_1h_2\)，则 \(h=(h^{-1})^{-1}=h_2^{-1}h_1^{-1}\in H_2H_1\) 即 \(H_1H_2\subseteq H_2H_1\)。

任取 \(h=h_2h_1\in H_2H_1\)，则 \((h_1)^{-1}(h_2)^{-1}\in H_1H_2,(h_1^{-1}h_2^{-1})^{-1}\in H_1H_2,h_2h_1\in H_1H_2\) 即 \(H_2H_1\subseteq H_1H_2\)。

综上即 \(H_1H_2=H_2H_1\)

右推左

任取 \(x,y\in H_1H_2\)，\(xy^{-1}=x(y_1y_2)^{-1}=x_2x_2y_2^{-1}y_1^{-1}=x_1y_3y_1^{-1}=x_4y_4y_1^{-1}=x_4y_5\in H_1H_2\)

循环群

若群 \(G=<a>\)，则称 \(G\) 为循环群， \(a\) 为其生成元。

Lemma. 设 \(G=\{e,a,a^2\dots a^{n-1}\}\) 是循环群

• （一） \(\gcd(k,n)=1 \Leftrightarrow a^{k}\) 也是 \(G\) 的生成元。

Proof.

\(\gcd(k,n)=1\Rightarrow \exists u,v,uk+vn=1\)。
\(a=a^{uk+vn}=(a^n)^v(a^k)^u=(a^k)^u\)，那么 \(a^k\) 为生成元。

反之，若 \(a^k\) 为生成元，则 \(|a^k|=n,|a|=n\Rightarrow |a^{k}|=\frac{n}{\gcd(k,n)}\Rightarrow \gcd(k,n)=1\)。

• （二） \(G\) 的子群 \(H\) 还是循环群。

Proof.

设最小的正整数 \(i\) 满足 \(a^i\in H\)，若 \(a^j\in H\)，设 \(j=ki+r\)，则 \(a^j=a^{ki}a^r\Rightarrow a^r=a^{-ki}a^j \in H \Rightarrow r=0 \Rightarrow i|j\)，即 \(a^i\) 是一个生成元。

• （三） 对于 \(d|n\)，恰好有一个 \(d\) 阶子群 \(H\)，且反之不存在 \(d\) 阶子群。

Proof.

设 \(H\) 是子群，则 \(H\) 是循环群，设 \(H=<a^m>\)，则 \(|H|=|a^m|=\frac{n}{\gcd(r,n)}\Rightarrow |H|\mid n\)。

并且显然取 \(H=<a^{n/d}>\) 即可构造一个 \(d\) 阶子群，设还有一个 \(d\) 阶子群 \(K=<a^m>\)。

则 \(a^{md}=e\Rightarrow n|md\Rightarrow n/d \mid m\)，设 \(m=kn/d\)，\(a^{m}=(a^{n/d})^k\Rightarrow K\subseteq H\Rightarrow H=K\)

置换群

设 \(f\) 为 \(A\to A\) 的双射，则当 \(|A|=n\) 时称 \(f\) 为一个 \(n\) 元置换。

所有 \(n\) 元置换关于置换乘法构成的群记作 \(S_n\)，称为 \(n\) 元对称群，\(S_n\) 的子集称为 \(n\) 元置换群。

若对于 \(k\) 个不同元素 \(i_1,i_2\dots i_k\) 进行以下置换 \(\sigma\)，则称 \(\sigma\) 为一个 \(k\) 阶轮换：

• \(\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3\dots,\sigma (i_k)=i_1\)

记作 \((i_1i_2\dots i_k)\)，特别的当 \(k=2\) 时称为对换。

每个置换 \(\tau\) 可以唯一的表示为若干不交置换的乘积，即若 \(\tau=\sigma_1\sigma_2\dots \sigma _k\)，则 \(\{\sigma_1,\sigma_2\dots,\sigma_k\}\) 是唯一的。

设此表示下 \(k\) 阶轮换个数为 \(C_k(\tau)\)，则 \(\tau\) 的轮换表示法可以写成 \(1^{C_{1}(\tau)}2^{C_{2}(\tau)}\dots\)。

每个置换也可以表示成若干对换的乘积，不是唯一的，但对换个数的奇偶性是唯一的，分别称为奇置换和偶置换。

\(n\) 元偶置换的集合被称为 \(n\) 元交代群，记为 \(A_n\)，容易构造双射说明 \(|A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}\)。

群的分解

陪集

设 \(G\) 为群 \(,H\) 是其子群，\(a\in G\)，则

\(Ha=\{ha|h\in H\}\) 称为 \(H\) 的一个右陪集，注意陪集不一定是子群，\(a\) 称为该陪集的代表元素。

一些显然的性质有：

• \(He=H\)
• \(a\in Ha\)
• \(|H|=|Ha|\)

Lemma. \(a\in Hb\Leftrightarrow Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)

Proof.

\(a\in Hb \Leftrightarrow Ha=Hb\)

• \(a=hb\)，则 \(\forall h_2a\in Ha,h_2a=h_2hb\in Hb\)，\(b=h^{-1}a\) 同理可证。
• \(h_1a=h_2b\) 则 \(a=h_1^{-1}h_2b\in Hb\)

\(a\in Hb \Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)

• \(a=hb\Rightarrow ab^{-1}=h\in H\)
• \(ab^{-1}=h\in H\Rightarrow a=hb\Rightarrow a\in Hb\)

Lemma. 定义 \(R\) 为 \(aRb\Rightarrow Ha=Hb\)，则 \(R\) 是等价关系，且 \([a]=Ha\)

Proof.

等价关系显然。

任取 \(b\in [a]\)，则 \(Ha=Hb\Rightarrow b\in Ha\Rightarrow [a]\subseteq Ha\)。

任取 \(b=ha\in Ha\)，则 \(ba^{-1}\in H\Rightarrow Ha=Hb\Rightarrow b\in [a]\)。

由该等价关系可知，所有不同陪集两两不交，且并起来恰好是全集 \(G\)。

类似的可以说明左陪集 \(aH\) 的相关性质。

Lagrange 定理

Lemma（Lagrange 定理的引理）. H 的左陪集和右陪集个数相等。

Proof.

构造映射 \(f,f(Ha)=a^{-1}H\)

• 良定义：若 \(Ha=Hb\)，则 \(ab^{-1}\in H,(a^{-1})^{-1}(b^{-1})\in H\Rightarrow a^{-1}H=b^{-1}H\)
• 满射比较显然。
• 单射：将良定义证明反过来即可
  故 \(f\) 是双射，即左陪集个数和右陪集个数相等。

定义 \(H\) 在 \(G\) 中的指数 \([G:H]\) 为 \(H\) 的左（右）陪集个数。

Lemma（Lagrange 定理）. 设 \(G\) 是有限群，\(H\) 是其子群，则 \(|G|=|H||G:H|\)

Proof.

\(G=|Ha_1|+ |Ha_2|\dots +|Ha_k|=|H||G:H|\)

即有限群 \(G\) 的子群 \(H\) 的阶是 \(G\) 的阶的因子。

共轭

共轭关系：\(R\) 满足 \(aRb\to \Leftrightarrow \exists x,xbx^{-1}=a\)，则 \(R\) 是等价关系。

Proof.

• 自反：取 \(eae^{-1}=e\)。
• 对称：\(xbx^{-1}=a\Rightarrow x^{-1}a(x^{-1})^{-1}=b\)
• 传递：\(xbx^{-1}=a,ycy^{-1}=b\Rightarrow a=(xy)c(y^{-1}x^{-1})\)

记 \(R\) 划分的等价类为共轭类，记作 \(\overline{a}\)。

Lemma. \(a\in C\Leftrightarrow \overline{a}=\{a\}\)

• 设 \(a\in C,b\in \overline{a},b=xax^{-1}\)，则 \(b=axx^{-1}=a\)
• 设 \(\overline{a}=\{a\}\)，任取 \(x\)，则 \(xax^{-1}\in \overline{a}\Rightarrow ax=xa\Rightarrow a\in C\)

Lemma. \(|\overline{a}|=|G:N(a)|\)

\(xax^{-1}=yay^{-1}\Leftrightarrow ax^{-1}y=x^{-1}ya\Leftrightarrow xy^{-1}\in N(a)\Leftrightarrow N(a)x=N(a)y\)
故存在双射 \(f(xax^{-1})=N(a)x\)

群的分类方程

设 \(G\) 中大小 \(>1\) 的共轭类代表元素分别为 \(a_1,a_2\dots a_k\)，则

\(|G|=|C|+|G:N(a_1)|+|G:N(a_2)|\dots +|G:N(a_k)|\)

Lemma. 若 \(|G|=p^k\)，则 \(p\mid |C|\)。

\(|G|=|C|+|G:N(a_1)|+|G:N(a_2)|\dots +|G:N(a_k)|\)

由 Lagrange 定理 \(|G:N(a_i)|\mid p^k\)，又因 \(|G:N(a_i)|>1\)，故 \(|G:N(a_i)|=p^i(1\leq i\leq k)\)

故 \(|C|\equiv 0(\bmod p)\)。