莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

\[\mu(n) = \begin{cases} 1, & n = 1, \\ 0, & n \text{ 能被大于 } 1 \text{ 的平方数整除}, \\ (-1)^k, & n \text{ 是 } k \text{ 个不同素数的乘积}. \end{cases} \]

这是他的定义，有

\[\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} \]

\[n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d) \]

莫比乌斯反演

认为学会反演之后才真正理解 \(\mu\) 吧……

\[f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]

对于求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\) 这种问题，我们可以先设 \(f_n=\sum\limits_{d|n}g(d)\)

有

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) =&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}g(d)\\ =&\sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[d|i,d|j]\\ =&\sum\limits_{d=1}^ng(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\\ \end{aligned} \]

有

\[g=f*\mu \]