矩阵

• 矩阵可以看作是若干向量拼成的，向量间存在某种关系，这种关系用秩来表示

• 矩阵的秩：组成该矩阵的线性无关的向量个数

• 满秩 <=> 行列式不为0 <=> 可逆

• 行列式是一行乘k，数乘：矩阵是所有都乘k

• 规范正交基：施密特标准正交化：先正交化，在单位化

• 对角阵矩

• 对称矩阵（转置后等于自己，方阵）

• 正交矩阵（方阵，转置乘自己等于单位阵，行向量组是标准正交向量组、转置等于逆、）

• 逆：方阵，AB=E，A是可逆的，B的A的逆矩阵，组成A的行向量线性无关

• 线性组合：\(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_m \alpha_m\)

• 线性表出: \(\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_m \alpha_m\)

• 线性相关：存在一组补全为零的k，使得\(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_m \alpha_m = 0\)

如果一组向量线性相关，其中至少有一个（前面系数不为0的）可以被其它向量线性表出
如果存在零向量或成比例的向量，则向量组必线性相关
如果不存在一组不全为0的数（全为0），线性组合成立：向量组中任何一个向量都不能被其它向量线性表出
七大定理：
1.线性相关：其中至少有一个可以被其它向量线性表出
2.一组线性无关的向量组，加入一个新向量后线性相关，则新加的可以被原来的线性表出
3.以少表多，多的相关，无论少的是否相关
4. 一组向量线性相关 <=> 齐次线性方程有非零解

• n维数=方程个数/行数，m个=未知数个数/列数
  -- 如果 n<m，约束小于自由度，出现了自由变量，则可随意取值，x可为非0，即线性相关
  -- 如果 个数-维数，行列式=0，线性相关，不等于0，线性无关
  -- 如果 个数>维数，方程>未知数，化阶梯；

5. Ax=b有解，则r(A)和r(A,b)相等，反之无解，则r(A)+1=r(A,b)
6. 部分相关，整体相关
   7.原来无关，延长无关

极大线性无关组：一个最简小组（最简方程）

齐次方程组：

• r(A)=n 列满秩，方程组有唯一零解
• r(A)<n 列不满秩，方程组有非零解，无穷多解，n-r(A)个线性无关解（基础解系）可以表示所有的无穷多解

通解：基础解系的线性组合

非齐次方程组：

• r(A)=r(A,b) b可以由A线性表出，方程有解
  --r=n 满秩 无自由度，唯一解
  --r<n 不满秩，无穷多解
• r(A)+1=r(A,b)，即两个秩不等，无解