【小白学AI】XGBoost推导详解与牛顿法
文章来自微信公众号：【机器学习炼丹术】
1 作者前言
在2020年还在整理XGB的算法，其实已经有点过时了。不过，主要是为了扩大知识面和应付面试嘛。现在的大数据竞赛，XGB基本上已经全面被LGB模型取代了，这里主要是学习一下Boost算法。之前已经在其他博文中介绍了Adaboost算法和Gradient-boost算法，这篇文章讲解一下XGBoost。
2 树模型概述
XGB就是Extreme Gradient Boosting极限梯度提升模型。XGB简单的说是一组分类和回归树（CART）的组合。跟GBDT和Adaboost都有异曲同工之处。
【CART=classification adn regression trees】
这里对于一个决策树，如何分裂，如何选择最优的分割点，其实就是一个搜索的过程。搜索怎么分裂，才能让目标函数最小。目标函数如下：
\(Obj = Loss + \Omega\)
\(Obj\)就是我们要最小化的优化函数，\(Loss\)就是这个CART模型的预测结果和真实值得损失。\(\Omega\)就是这个CART模型的复杂度,类似神经网络中的正则项。
【上面的公式就是一个抽象的概念。我们要知道的是：CART树模型即要求预测尽可能准确，又要求树模型不能过于复杂。】
对于回归问题，我们可以用均方差来作为Loss：
\(Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}\)
对于分类问题，用交叉熵是非常常见的,这里用二值交叉熵作为例子：
\(Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}\)
总之，这个Loss就是衡量模型预测准确度的损失。
下面看一下如何计算这个模型复杂度\(\Omega\)吧。
\(\Omega = \gamma T+\frac{1}{2} \lambda \sum^T_j{w_j}^2\)
\(T\)表示叶子节点的数量，\(w_j\)表示每个叶子节点上的权重（与叶子节点的样本数量成正比）。
【这里有点麻烦的在于，\(w_j\)是与每个叶子节点的样本数量成正比，但是并非是样本数量。这个\(w_j\)的求取，要依靠与对整个目标函数求导数，然后找到每个叶子节点的权重值\(w_j\)。】
3 XGB vs GBDT
其实说了这么多，感觉XGB和GDBT好像区别不大啊？那是因为说了这么多还没开始说XGB呢！之前都是讲树模型的通用概念的。下面讲解XGB~整理一下网上有的说法，再加上自己的理解。有错误请指出评论，谢谢！
3.1 区别1：自带正则项
GDBT中，只是让新的弱分类器来拟合负梯度，那拟合多少棵树才算好呢？不知道。XGB的优化函数中，有一个\(\Omega\)复杂度。这个复杂度不是某一课CART的复杂度，而是XGB中所有CART的总复杂度。可想而知，每多一颗CART，这个复杂度就会增加他的惩罚力度，当损失下降小于复杂度上升的时候，XGB就停止了。
3.2 区别2：有二阶导数信息
GBDT中新的CART拟合的是负梯度，也就是一阶导数。而在XGB会考虑二阶导数的信息。
这里简单推导一下XGB如何用上二阶导数的信息的：
-
之前我们得到了XGB的优化函数：
\(Obj = Loss + \Omega\) -
然后我们把Loss和Omega写的更具体一点：
\(Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}\)- \(\hat{y_i^t}\)表示总共有t个CART弱分类器，然后t个弱分类器给出样本i的估计值就。
- \(y_i\)第i个样本的真实值；
- \(\Omega(cart_j)\)第j个CART模型的复杂度。
-
我们现在要求取第t个CART模型的优化函数，所以目前我们只是知道前面t-1的模型。所以我们得到：
\(\hat{y}_i^t = \hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)\)
t个CART模型的预测，等于前面t-1个CART模型的预测加上第t个模型的预测。 -
所以可以得到：
\(\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}\)
这里考虑一下特勒展开：
\(f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f''(x)\Delta x^2\) -
如何把泰勒公式带入呢？
\({Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}\)中的\(y_i\)其实就是常数，不是变量
所以其实这个是可以看成\(Loss(\hat{y}_i^t)\),也就是:
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))\) -
带入泰勒公式，把\(f_t(x_i)\)看成\(\Delta x\)：
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss''(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2\)- 在很多的文章中，会用\(g_i=Loss'(\hat{y}_i^{t-1})\),以及\(h_i=Loss''(\hat{y}_i^{t-1})\)来表示函数的一阶导数和二阶导数。
-
把泰勒展开的东西带回到最开始的优化函数中，删除掉常数项\(Loss(\hat{y}_i^{t-1})\)(这个与第t个CART模型无关呀)以及前面t-1个模型的复杂度，可以得到第t个CART的优化函数：
\(Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}\)
【所以XGB用到了二阶导数的信息，而GBDT只用了一阶的梯度】
3.3 区别3：列抽样
XGB借鉴了随机森林的做法，不仅仅支持样本抽样，还支持特征抽样（列抽样），不仅可以降低过拟合，还可以减少计算。（但是这一点我个人存疑，感觉这个只是代码给出的功能，并不算是XGB本身算法相对GBDT的优势。因为XGB和GBDT明明都可以用列抽样的方法。总之，最关键的区别是二阶导数那个和引入正则项）
4 XGB为什么用二阶导
这个是一个关于XGB的面试进阶题。第一次看到这个问题的时候，一脸懵逼。
【先说自己总结的答案】
- 使用了二阶导数的信息，加快了收敛速度。
- 减少了计算量。
4.1 为什么减少了计算量
这个比较理解，就先从这个开始解释。
在GBDT中，最花费时间的就是计算分裂点，选择哪个特征，在哪个分割点进行分裂可以得到最小的loss。假设有5个特征，每个特征有100个潜在分割点，那么分类一次需要计算500次。
\(loss(y,\hat{y}^t)\)像之前一样，写成之前所有已经训练完成的弱分类器和正在训练的分类器\(loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))\)
如果计算这个损失的话，我们需要计算500次的
\(loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))\)
但是假设使用泰勒展开得到：
\(loss(\hat{y}^{t-1})+g*f_t(x)+\frac{1}{2}h(f_t(x))^2\)
其中的\(loss(\hat{y}^{t-1})\),\(g\),\(h\)都是仅仅与之前已经训练完成的决策树相关，所以就是常数，所以是可以在500次的计算中共享，计算一次足以。
4.2 为什么加快收敛速度
这里要回到泰勒展开那里：
\(f(x+\Delta x) = f(x) + g(x) * \Delta x + \frac{1}{2} h(x) (\Delta x)^2\)
这个式子其实就可以看成是\(F(\Delta x)\),因为\(x\)可以看成一个常数。我们希望\(F(\Delta x)\)最小（也就是损失最小），所以我们对\(\Delta x\)求导数：
\(F'(\Delta x)=g(x)+h(x)\Delta x=0\)
导数为0，则是极小值（默认是凸函数）
\(\Delta x=-\frac{g(x)}{h(x)}\)，也就是说，更新的步长其实就是一阶导数除以二阶导数。
了解最优化算法的朋友应该可以意识到，这个其实是跟牛顿法等价的。XGB每一次训练一个新的基模型，其实就是再使用牛顿法来对损失函数进行最小值的优化与更新。
【小总结】
因此我个人认为，使用了二阶信息的XGB比使用了一阶信息的GBDT收敛速度快的原因，可以用牛顿法比梯度下降法收敛快来解释。
【为什么牛顿法收敛速度快】
其实这一块我有些解释不清楚了，因为我最优化算法学的也不精（好像突然发现找不到工作的原因了2333）。能给出的是一个比较通俗的解释： 从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。
5 牛顿法
这里简单介绍一下牛顿法是什么。毕竟有的朋友可能没学过，或者学过像我一样忘记了。
【牛顿法的目的】
求解一个函数的根，也就是这个函数与x坐标轴的交点。
这里有一个三次曲线，我们初始点在A位置，然后做A位置的切线，可以发现这个切线相交于x轴。
然后这个焦点做一个平行于y轴的线，交于B点，然后B点做切线，然后交于x轴，然后......
然后迭代到C点
慢慢的，就逼近三次函数与x轴的交点，也就是三次函数等于0的根了。
【数学算式】
\(x_n\)点的切线方程：
\(f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)=0\)
所以很简单得到：
\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
【为什么这里只用到了一阶信息？】
因为这里的目的是求取一个函数的根，也就是函数等于0的根。我们在最优化问题中，求解的是一个函数的极小值，这就要求求取这个函数的导数等于0的根，所以在最优化问题中，是一个二阶导数优化方法。
写了4000字，太累了。欢迎大家加好友交流。
