CF845G Shortest Path Problem? 题解

首先看到题目的时候，看见异或最小值，就需要想到可能是线性基，而这题正需要线性基。

对于 \(1 \to n\) 的路径而言，我们可以将这条路径拆成 2 部分：一条链 + 一些环。

相当于我们要求链的路径长度异或上所有环长度的最小值。

先看所有环长度的异或最小值，我们可以先用一遍 DFS 预处理出所有的环，将这些环的长度丢到线性基里面，那么这样线性基能异或出来的最小值就是所有环长度的最小值。

但是还有一条链啊？

实际上这条链可以随便选！

证明如下：

假设我们不能随便选链，也就是说我们必须选择长度为 \(A\) 的链才能得到正确答案。

设所有环能异或出的最小值为 \(x\)，我们选出的路径长度为 \(B\)，实际上的最优长度为 \(A\)，那么按照假设我们有 \(B \oplus x > A \oplus x\)。

但是注意到这是一张无向图，因此路径 \(A\) 和路径 \(B\) 共同组成了一个环。

由于我们需要求的是最小值，因此当我们遍历线性基求最小值的时候由于 \(A \oplus x\) 更优，将会导致 \(B \gets B \oplus A\)。

因此实际上 \(A,B\) 两条路径是同等优秀的，不存在哪条更加优秀的链。

证毕。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia CF845G Shortest Path Problem.cpp