数学/数论专题-专项训练：线性基#1

目录

• 1. 前言
• 2. 练习题
  • P4570 [BJWC2011]元素
  • P3857 [TJOI2008]彩灯
  • P3292 [SCOI2016]幸运数字
• 3. 总结

1. 前言

本篇博文是作者学习线性基的专项训练。

• 数学/数论专题-学习笔记：线性基

本文默认你已经学会了线性基及其性质，及其简单应用。

2. 练习题

题单：

• P4570 [BJWC2011]元素
• P3857 [TJOI2008]彩灯
• P3292 [SCOI2016]幸运数字

P4570 [BJWC2011]元素

这道题的解法：贪心+线性基。

由于线性基有一个优秀的性质：无论一个序列的线性基怎么变，其线性基内数的个数都是相同的，关键是看你怎么排列数的顺序，那么我们可以贪心。

考虑将所有石头按照魔力值从大到小排序，然后直接做线性基，能插入的数就加上其魔力值。

对于正确性证明：如果你对于线性基上面这个性质学过证明的话，这个是真的非常好证明的（甚至不用证）。

---

这里简要证明一下：

假设我们现在有一组线性基 \(d_1,d_2,...,d_k\)，现在要插入 \(x\)，而 \(x\) 插入失败。

这说明 \(d_{a_1} \oplus d_{a_2} \oplus ... \oplus d_{a_j}=x\)。

根据异或的性质：\(x \oplus d_{a_1} \oplus ... \oplus d_{a_{j-1}}=d_{a_j}\)。

那么实际上你调整这些数的插入顺序是没有问题的。

证毕。

---

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P4570 [BJWC2011]元素.cpp

P3857 [TJOI2008]彩灯

这道题首先我们可以将题中的控制开关状态转变成一个二进制数。

然后实际上题中所说的按下开关就是异或。

那么因此这道题要求方案数，实质上就是要求原序列能够构成的线性基中数的多少。

由于线性基有一个很优秀的性质：原数列与线性基能异或出来的数是相同的，因此实际上我们知道了线性基内有 \(cnt\) 个数，那么答案就是 \(2^{cnt}\)。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P3857 [TJOI2008]彩灯.cpp

P3292 [SCOI2016]幸运数字

这道题的解法是倍增 LCA + 线性基。

下面假设你已经学会了倍增 LCA。

首先回顾倍增 LCA 的过程：通过倍增合并 \(f_{i,j}\) 到 \(f_{i,j+1}\) 上。

实际上线性基也是可以合并的，合并方式就是将一个线性基插入到另外一个线性基里面。

因此既然线性基可以合并，那么根据倍增 LCA 的思路，我们同样可以倍增合并线性基。

设 \(p_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个节点向上跳 \(2^{j-1}\) 步之后路径上的所有节点所构成的线性基。

那么首先可以通过预处理 LCA 预处理出所有的线性基。

然后对于一组询问 \((x,y)\)，考虑在求 LCA 的时候边跳 \(x,y\) 边合并线性基，然后对于合并完成的线性基求一次最大值就好。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P3292 [SCOI2016]幸运数字.cpp

3. 总结

线性基还有一篇专项训练：数学/数论专题-专项训练：线性基#2，总结在这里。