[数学·物理] 分析简谐振动的位移-时间方程为y=Asin(ωx+φ)

\(问题\)

如图，有一弹簧振子。证明：其完成一次全振动的过程中，时间 \(t\) 与位移 \(y\) 的关系满足 \(y=A\sin(\omega x+\phi)\).

\(证明：\) 假设弹簧劲度系数为 \(k\)，弹簧原长为 \(l_0\)，在某一时刻的长度为 \(l_t\)；小球质量为 \(m\).

规定向上为正方向，原点为小球受力平衡时所在的点.

则小球受到的合力大小 \(F=N-mg\)，弹簧的弹力大小 \(N=k\delta x=k(l_t-l_0)\).

若弹簧处于伸长状态，则弹力方向竖直向下，与正方向相反，\(N=-k(l_t-l_0)\)；

若弹簧处于压缩状态，则弹力方向竖直向上，但由于 \((l_t-l_0)<0\)，故弹力 \(N=-k(l_t-l_0)\).

因此，始终满足

\[N=-k(l_t-l_0). \]

位移 \(y\) 可分为两部分：一部分为小球从平衡点到 \(l_t=l_0\) 时所在点的位移 \(y_1\)，一部分为小球从平衡点到任意点的位移（即 \(l_t-l_0\)）.

当小球处于平衡位置时，\(N=mg\)，即

\[y_1=\frac{mg}{k} \]

所以

\[y=l_t-l_0+\frac{mg}{k} \leftrightarrow l_t-l_0=y-\frac{mg}{k} \]

代入 \(N=-k(l_t-l_0)\)，得

\[N=-k(y-\frac{mg}{k})=-yk+mg \]

因此

\[F=-yk+mg-mg=-yk \]

由牛顿第二定律方程 \(F=ma\)，可得

\[\frac{-yk}{m}=a \]

又

\[a=v'=y'' \]

所以

\[\frac{-yk}{m}=y''\leftrightarrow y''+\frac{yk}{m}=0 \]