[数学]集合与常用逻辑用语

集合

集合及其表示方法

集合

一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，组成一个集合(简称集)。组成集合的每一个对象称为元素。

集合通常用大写英文字母 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(...\) 表示，元素通常用小写英文字母 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) 表示。

如果 \(a\) 是集合 \(A\) 中的元素，记作

\[a \in A \]

读作“\(a\) 属于 \(A\)”；如果 \(a\) 不是集合 \(A\) 中的元素，记作

\[a \notin A \]

读作“\(a\) 不属于 \(A\)”。

集合中的元素

集合中的元素具有以下特点：

1. 确定性：任何元素是不是属于一个集合，应当可以明确地判断出来。如“所有正整数”可以构成一个集合，而“个子高的同学”不能构成一个集合。

2. 互异性：一个集合中不能有重复的元素。

3. 无序性：集合中的元素可以按任意顺序排列。如集合 \(\{1,2,3,4\}\) 与集合 \(\{1,4,2,3\}\) 表示的是同一个集合。

如果组成两个集合 \(A\)、\(B\) 的元素完全一样，就称两个集合相等，记作 \(A=B\)。

不含任何元素的集合称作空集，记作 \(\emptyset\)。

集合可以根据它含有元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。空集可以看成包含 \(0\) 个元素的集合，所以空集是有限集。

常见的数集

• 所有自然数组成的集合称为自然数集，记作 \(\mathbb{N}\)。

  特别地，去掉元素 \(0\) 后的集合称为正整数集，记作 \(\mathbb{N}_+\) 或 \(\mathbb{N}^*\)。

• 所有整数组成的集合称为整数集，记作 \(\mathbb{Z}\)。

• 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作 \(\mathbb{Q}\)。

• 所有实数组成的集合称为实数集，记作 \(\mathbb{R}\)。

• extra：所有复数组成的集合称为复数集，记作 \(\mathbb{C}\)。

集合的表示方法

列举法

把集合中的元素一一列举出来表示集合的方法称为列举法。

例如，组成单词“Arcaea”的所有字母可以看成一个集合

\[\{A,r,c,a,e\} \]

列举法可以直观表示集合中的所有元素，但表示无限集时并不方便。

描述法

如果一个集合 \(A\) 中的所有元素 \(x\) 都存在一个性质 \(p(x)\)，而所有不属于 \(A\) 的元素都不存在这个性质，那么可以将这个集合表示为

\[\{x|p(x)\} \]

特别地，集合 \(\{x|a \leq x \leq b\}\) 可简写为 \([a,b]\)，并称为闭区间；

集合 \(\{x|a < x < b\}\) 可简写为 \((a,b)\)，并称为开区间；

集合 \(\{x|a < x \leq b\}\)、集合 \(\{x|a \leq x < b\}\) 分别简写为 \((a,b]\)、\([a,b)\)，统称为半开半闭区间。

集合之间的关系

包含与真包含

两个集合 \(A\) 和 \(B\)，若 集合 \(A\) 中的没一个元素都存在于集合 \(B\)，那么记作

\[A \subseteq B \]

读作“A包含于B”。

特别地，如果集合 \(B\) 中至少有一个元素不存在于集合 \(A\)，那么记作

\[A \subsetneqq B \]

读作“A真包含于B”。