卷积相关
转自知乎 如何通俗易懂地解释卷积？（作者：1335） 以及 关于卷积本质的理解（作者：笨研）
前者为主体，后者做补充。
要理解卷积，就必须树立起来“瞬时行为的持续性后果”这个概念。
举个例子。在一个时刻点，我以迅雷不及掩耳之势吃下了一个冰激凌，此时我的体重瞬间增加，之后随着消化吸收能量利用和排泄等生理活动的进行，我的体重又缓慢下降。如下图所示：
我们把这个函数记为 $f(t) $ 。我们把基础体重记为 $0 $，即没吃冰淇凌的时候体重是 $0 $，吃冰淇凌的效果过去了之后体重还是 $0 $。我们记每一个冰淇凌带来的瞬间体重增加为 $W_0 $ 。易知， $f(0)=W_0 $， $f(+\infty)=0 $ 。
如何理解“瞬时行为的持续性后果”呢？在这个例子里，吃冰激凌是瞬间完成的动作，是一个瞬时行为；吃完冰激凌之后的体重的缓慢下降是持续了一段时间的，因此是吃冰激凌这个瞬时行为的一个持续性后果。
此时，只有在 $0 $ 时刻的瞬间吃了一个冰淇凌，在 $0 $ 时刻的瞬间，吃冰淇凌的速度是 $\dfrac{1}{\delta t} = +\infty $，其中 $\delta t $ 表示极小的一个时间段；在其他时刻，吃冰淇凌的速度为 $0 $。因此，我们可以用一个冲击函数 $\delta(t) $ 来表示在这种情况下吃冰淇凌的速度。 $ f(t) $ 表示的是，当吃冰淇凌的速度为冲击函数 $ \delta(t) $ 的时候，对我的体重的影响。
接下来我们考虑，我吃冰淇凌的频率很低，且每次只在一个瞬间吃一个冰淇凌，每次都等到体重恢复到原来的程度了再吃一个，那么我的体重变化就是这样子的:
这种情况下，如果我想要知道每一个时刻的体重，只需要知道我吃每个冰淇凌的时刻 $ t_1,t_2,…t_5… $ ，再知道吃一个冰淇凌的效果 $ f(t) $ ，很容易就能求出来了。（自注1：在这里这个 \(f(t)\) 的理解很重要，它表示的是外部输入激励信号，系统的输出都只会以一定的规律“缓慢地”对输入做出响应；另一方面的意思是，当稳定的外部输入信号突然停止时，系统也只会按照自己内在的规律逐渐衰减到零（我们假定系统是稳定的）。）
接下来，我们考虑，如果我吃冰淇凌的速度恒定为 1（注意不是一瞬间吃一个了，不是冲击函数），且时时刻刻都在吃冰淇凌，那么，在我连续吃了 $ T $ 时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？
这个问题是不是有点不好算了呢？之前的冰淇凌增加的体重还没降到0呢，现在的冰淇凌带来的体重就又来了，还一直持续，还是连续的，想想就头疼。这个时候，要引入两个个原理（自注2：合称为Boltzmann线性叠加原理）。
第一，线性原理。即，我在一瞬间吃冰淇凌的个数，会以线性的方式作用在冰淇凌对体重的影响函数 $ f(t) $ 上。我在一个瞬间吃了 \(1\) 个冰淇凌，之后我的体重变换是 $ f(t) $，如果我在一个瞬间吃了 $ 0.5 $ 个冰淇凌，之后我的体重变换是 $ 0.5f(t) $，如果 \(n\) 个呢，那就是 $ nf(t) $。
第二，累加原理。即，冰淇凌的作用效果是可以累加的。即，一段时间之前我吃了一个冰淇凌，经过了一段时间的体重下降，现在我的体重是 $ W_1$ 。现在我又吃了一个冰淇凌，体重又增加了。假设这个增加是可以累积的（直观上也是可以累积的），那么我的体重就会是 $ W_1+f(0)=W_1+W_0 $ 。这就是累加原理。
这时我们来试着计算，在从开始就不停地吃冰淇凌，且吃冰淇凌的速度恒定为 \(1\) 的情况下，在任意时刻 $ T $ 我的体重。由于我在不停地吃冰淇凌，所以我们先算在某时刻 $ \tau(\tau<T) $ 附近的一瞬间 \(d\tau\)，我吃的冰淇凌对现在时刻 $ T $ 的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是 $ 1 $ ，时间是 $ d\tau $ ，因此，在 $ d\tau $ 这一瞬间我吃的冰淇凌的个数是 $ 1\cdot d\tau=d\tau $ 。那么根据线性原理，在 $ d\tau $ 这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻 $ T $ 的我的体重的影响就是 $f(T-\tau)d\tau $。
（自注3：在 \(d\tau\) 的一瞬间，吃冰激凌个数是 \(d\tau\)，对体重的影响函数为 \(f(T-\tau)\)，所以二者相乘。其中对于这个作用函数，联系 自注3 可以理解为：仅仅是针对 \(d\tau\) 这一时间点上的外界对系统输入的激励，在这里是 $ 1\cdot d\tau=d\tau $ ，那么系统对于该激励的响应，或者说该激励对系统的作用可以表示为一个函数，写为 \(f(T-\tau)\)，相当于是对时间点为 \(0\) 时的平移，向 \(x\) 正半轴移动了 \((0-d\tau )\) 的距离。）
那么，根据累加原理，现在时刻 $ T $ 的我的体重就是：从 $ 0 $ 到 $ T $ 时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：
上面这个式子是不是有点像我们学过的卷积了呢？
我们上面的讨论基于我们吃冰淇凌的速度是常数 $ 1 $，那么，如果我吃冰淇凌的速度不是常数，而是一个连续变化的函数，如在 $t $ 时刻，吃冰淇凌的速度是 $ g(t) $。那么，在我连续吃了 $T $ 时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？
同样，我们先算，在某时刻 $ \tau(\tau<T) $ 附近的一瞬间 $ d\tau $，我吃的冰淇凌对现在时刻 $ T $ 的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是 $ g(\tau) $ ，时间是 $ d\tau $，因此，在 $ d\tau $ 这一瞬间吃的冰淇凌的个数是 $ g(\tau)*d\tau=g(\tau)d\tau $ 。那么根据线性原理，在 $ d\tau $ 这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻 $ T $ 的我的体重的影响就是 $ g(\tau) f(T-\tau)d\tau $。
再根据累加原理，现在时刻 \(T\) 的我的体重就是：从 $ 0 $ 到 $ T $ 时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：
这就是大家平时接触到的卷积了！
因此，在我的理解下，我将卷积解释为：
一个对象（本文中的吃冰淇凌）对一个系统（本文中的体重）的作用效果满足线性原理、累加原理。该对象对这个系统连续作用了一段时间后，求该系统的状态。这个时候，一个卷积就可以求出来了！
在卷积 $ W(T) = \int_{0}^{T}g(\tau)f(T-\tau)d\tau $ 中，第一个函数 $ g(t) $ 表示这个对象对系统的作用速度。第二个函数 $ f(t)$ 表示当作用速度为单位冲击函数时这个对象对系统的作用效果。我们来验证一下第二个函数 $ f(t) $ 的意义。取我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数 $ g(t)=\delta(t) $ ，则到时刻 $ T $ 我的体重就是：
的的确确就是我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数时，我的体重的变换。
最后，是一点说明。课本上标准的卷积其实长成下面这个样子，积分区间是 $ (-\infty,+\infty) $ 。
这个在我这个例子里也比较好理解，主要是考虑到时间的物理意义。
第一，理解当 $ t<0 $ 时，$ f(t)=0 $ 恒成立。这个比较容易理解，因为，我在 $ t=0 $ 时刻吃的冰淇凌，对吃冰淇凌之前也就是 $ t<0 $ 时刻的我的体重是没有影响的。所以，当 $ \tau>T $ 的时候， $ T-\tau<0 $ ， $ f(T-\tau)=0 $ 。
第二，理解当 $ t<0 $ 时， $ g(t)=0 $ 恒成立。这个更好理解，就是时间非负性。我是从 $ t=0 $ 时刻开始吃冰淇凌的， $ g(t) $ 表示我在 $ t $ 时刻吃冰淇凌的速度。 $ t<0 $ 的时候，我还没吃冰淇凌呢 ，自然不存在吃冰淇凌的速度这个概念。
所以， $W(T) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(\tau)f(T-\tau)d\tau = \int_{0}^{T}g(\tau)f(T-\tau)d\tau $
在其他的例子里，情况就不一样了。
1、某一个对象的作用域可能不是时间域，不必遵循时间上的因果律。因此，当 $ t<0 $ 时， $ f(t)\ne0 $ 。
2、某一个对象的作用域可能不是时间域，作用域存在负数的可能性。因此，当 $ t<0 $ 时， $ g(t)\ne0 $ 。
基于以上两点考虑，积分区间就是 $ (-\infty,+\infty) $ ，也就是课本上标准的卷积形式了！
数学家们最关心的是逻辑的严密性，他们玩的就是抽象，以自然科学里的哲学家自居，他们编写的数学教科书从来都只谈证明，只谈解空间，只谈严密性，任何具象的东西写进教科书好像都掉价似的，我严重怀疑他们写书的目的就是为了让我们看不懂:)。
对于大多数工科学生来说，我们千万别试图通过计算过程去理解它具体的物理意义，什么先反转、相乘、平移、叠加，忘掉它！数学家们天真地以为“卷积”这个名字能让我们更形象化地理解这一算法，其实除了把人搞晕外，一点意义都没有，因为物理世界中是没有任何一个系统能这样“卷”出来，它和现实世界没有一毛钱关系，纯粹是一种数学表达。如果非要和物理世界联系起来，只能这样描述：当信号输入给系统后的某个时间里，我们看到的系统的输出中，输入信号早期的部分影响较小，而后期部分影响较大。
只要细心去找，这样的例子其实生活中是有很多的，譬如我家的燃气热水器。每次我洗澡的时候，打开开关，出来的总是凉水，要过一会才会逐渐转热，然后达到一个稳定的舒适温度。这个温度变化的过程大致就是一个卷积的过程。
请你记住：不要试图通过公式的计算过程来了理解卷积的物理意义。我们要做的是代入公式计算就好了。
然后，
你的世界将
面朝大海，春暖花开。
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