算法优化》关于1D*1D的DP的优化

  关于这一主题的DP问题的优化方法,我以前写过一篇博客与其有关,是关于对递推形DP的前缀和优化,那么这种优化方法就不再赘述了。

  什么叫1D*1D的DP捏,就是一共有N种状态,而每种状态都要N种决策,这就叫1D*1D的DP,对于这种DP一般来说状态的转移都是可以从O(N2)优化到O(NlogN)甚至O(N)的,那么,针对于不同的情况,也有不同的优化方法

  经典模型一:(b[x]随x非降)

  对于DP方程形似与这一种的方程,明显的,这种DP的抉择方案数可以用单调队列直接解决化为O(1),所以对于这样的转移方程复杂度就可以化为O(N);

  经典例题:POJ(2823)Sliding Window  给出友情链接刷题向》POJ2823 单调队列裸题(<不会做,请自裁>系列)

  这道题无疑就是单调队列的最经典例题,那么用单调队列来解释也很容易。

  接下来解释怎么用单调队列来维护这种题的最优最优决策数,

  我们每次要做三个操作

  1.将队首元素出队,直到队首元素属于b[x]~x-1

  2.将队首元素作为最优解计算(由于单调队列的性质)

  3.将g[x]加入队列,维护单调性

  很容易得出复杂度为O(N)

  经典模型二:

  这种问题与决策单调性密切相关。那么什么是决策单调性捏?

  当对于一个f(x),决策g(a')比g(a)优,并且a'>a,那么对于任意的x'>x,决策g(a')仍然比g(a)优。 即∀a<=a',g(a)<=g(a');

  显然的,并不是所有的方程都满足这一性质,首先我们先判断哪些DP方程有这一性质。

  设s(x,i)为当判断到第x个,决策是第i个数时的函数值,s(x,i)=f(i)+w[i,x];

  那么也就是说:现在已知s(x,i')>=s(x,i)  i'<i(式1),试求满足s(x',i')>=s(x',i)(x<x')(式2)的条件;

  我们先把式子打开,可以得到f(i')+w[i',x]>=f(i)+w[i,x](i'<i),我们再把式子左边加上w[i',x']-w[i',x],右边加上w[i,x']-w[i,x],就可以得到式2;

  那么显然,要这个不等式成立的条件就是w[i',x']-w[i',x]>=w[i,x']-w[i,x];

  将其整理得w[i',x']+w[i,x]>=w[i',x]+w[i,x'](i'>i,x'>x);

  归纳得出w[i+1,x+1]+w[i,x]>=w[i+1,x]+w[i,x+1](四边形不等式);

  也就是说,只有在当前区间函数式满足以上结论时,我们的DP才可以使用抉择单调性优化。一般可以根据题目定义(或打表)判断;

  经典例题:BZOJ1010玩具装箱(然而直到本篇博客发表时BZOJ还在维护)

  经典模型三:

 此问题因为在循环中的F是定值,所以可以转化为更加通用的方程:

  得到这个式子之后,我们对这个式子进行一个处理,得到y(i)=-a(n)/b(n)*x(i)+f[n]/b(n);

  对于这个式子,我们当前处理的就是用两个数组下标得出来的一元二次方程,那么对于每一个当前要决策的点x,a[x]和b[x]都是固定的,那么对于以上的一元二次方程,斜率都是一定的,那么也就是说,我们只要找到以前的,能使f[n]最大的点就好了。

  那么我们可以把以前加入的点的x[n]和y[n]值作为平面上的点,既然有斜率,那么找截距就变成一个十分简单的事情了,只要找到能使截距最大的点就好。

  然后我们会发现,我们能求到的最优解一定在这些点形成的上或下凸壳上,然后我们的问题就变成了维护凸壳。

  这里有两种情况,

  一种情况是这些直线的斜率和在横坐标上的点都是递增的,

  在这种情况下,我们维护凸壳可以用单调队列处理,然后移动最优点的位置也是O(1)的,所以最好复杂度就是O(N)的

  经典例题:BZOJ1597(土地购买)

  还有一种情况,当斜率和横坐标没有任何限制,那么我们就不得不用平衡树叠二分来维护凸壳,这样复杂度就是O(NlogN)的。

  经典例题:NOI2007国币兑换

  关于这种题目暂时就说这么多,到以后或许会更新代码

posted @ 2016-10-06 00:45  PencilWang  阅读(632)  评论(0编辑  收藏  举报