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欧拉函数是积性函数的证明
摘要：说明：本文用 \(\phi\) 表示欧拉函数而不用 \(\varphi\)，尽管后者更为常用。\(\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}\) 欧拉函数 \(\phi\colon\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z\) 定义为 \[ \phi(n) = |\{ 阅读全文
posted @ 2021-08-18 18:07 Pat 阅读(1293) 评论(0) 推荐(1)
Asymptotic I Catalan Number
摘要：卡特兰数出现在许多计数问题中。 常见的例子有：\(n\) 个节点的有序二叉树，\(2n\) 个括号构成的合法括号序列。 在上面所举的两个例子中，很容易看出卡特兰数满足递推： \[ C_{n+1} = \sum_{i = 0}^{n} C_i C_{n-i }, \quad(n \ge 1) \] \ 阅读全文
posted @ 2019-03-01 11:48 Pat 阅读(236) 评论(0) 推荐(0)
并查集：按秩合并 $n$ 个点所得树高不超过 $\lfloor\log n \rfloor$
摘要：用 $h_n$ 表示按秩合并 $n$ 个点所得树的最大高度。 有 $h_1 = 0, h_2 = 1, h_3 = 1, h_4 = 2, h_5 = 2, \dots$ 有如下地推： \\[ h_n = \max_{1\le i\le n 1} \max(h_i, h_{n i}) + [h_i 阅读全文
posted @ 2018-11-27 21:34 Pat 阅读(582) 评论(0) 推荐(0)
Codeforces 1063D Candies for Children
摘要：题目大意 给定整数 $n, k, l, r$，$1\le n, k \le 10^{11}$，$1\le l, r \le n$ 。 令 $ m = r l + 1$，若 $m \le 0$，$m\gets m + n$ 。 未知数 $x\in \mathbb{Z}$ 满足 $ 0 \le x \l 阅读全文
posted @ 2018-10-15 11:15 Pat 阅读(393) 评论(0) 推荐(0)