欧拉函数是积性函数的证明

说明:本文用 \(\phi\) 表示欧拉函数而不用 \(\varphi\),尽管后者更为常用。\(\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}\)

欧拉函数 \(\phi\colon\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z\) 定义为

\[ \phi(n) = |\{m\in \mathbb Z\colon 1 \le m \le n, \gcd(m, n) = 1\}|\]

换言之,\(\phi(n)\) 是模 \(n\) 的既约剩余系中的元素个数(或者说「模 \(n\) 的既约剩余系的大小」)。

一般地说,定义域为正整数的函数称为数论函数。数论函数 \(f\) 是积性函数如果对任意互素的正整数 \(a,b\)\(f(ab) = f(a) f(b)\)

下面我们证明欧拉函数 \(\phi\) 是积性函数。

证法一(容斥原理)

\([n]\) 表示 \(\\{1,2,\dots, n\\}\)\([0]:= \emptyset\) 。设 \(n\)\(k\) 个不同的质因子:\(p_1 < p_2 < \dots < p_k\),由容斥原理有

\begin{aligned}
\phi(n) &= \sum_{I\subseteq [k]} (-1) ^{|I|} \frac{n}{\prod_{i\in I}p_i} \\
&= n\sum_{I\subseteq [k]} 1^{k - |I|} \prod_{i\in I} -\frac{1}{p_i} \\
&= n (1 - \frac1{p_1}) ( 1 - \frac1{p_2}) \dots (1 - \frac1{p_k})
\end{aligned}

证法二(中国剩余定理)

\(\gcd(a,b)=1\)。设 \(A,B,C\) 分别是模 \(a,b,ab\) 的既约剩余系。我们证明:存在从 \(A\times B\)\(C\) 的双射。

首先证明存在 \(C\to A\times B\) 的单射,实际上有 \(\forall x \in C\)\(x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)\) 是单射。\(\forall x, y \in C\)
\begin{cases}
x \equiv y\pmod a \\
x \equiv y\pmod b
\end{cases}
等价于
\begin{cases}
a\mid (x - y) \\
b\mid (x - y)
\end{cases}
这意味着 \(\lcm(a,b)\mid (x -y)\)
\(a\ne b\),则有 \(a,b\) 互质,从而 \(ab \mid (x - y)\),即 \(x\equiv y \pmod{ab}\),所以 \(x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)\) 是单射。

又根据中国剩余定理,\(\forall r_1 \in A, r_2 \in B\),同余方程组
\begin{cases}
x \equiv r_1 \pmod{a}\\
x \equiv r_2 \pmod{b}
\end{cases}
在模 \(ab\) 下有唯一解。

posted @ 2021-08-18 18:07  Pat  阅读(898)  评论(0编辑  收藏  举报