欧拉函数是积性函数的证明

说明：本文用 $\phi$ 表示欧拉函数而不用 $\varphi$，尽管后者更为常用。$\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}$

欧拉函数 $\phi\colon\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z$ 定义为

\[ \phi(n) = |\{m\in \mathbb Z\colon 1 \le m \le n, \gcd(m, n) = 1\}|\]

换言之，$\phi(n)$ 是模 $n$ 的既约剩余系中的元素个数（或者说「模 $n$ 的既约剩余系的大小」）。

一般地说，定义域为正整数的函数称为数论函数。数论函数 $f$ 是积性函数如果对任意互素的正整数 $a,b$ 有 $f(ab) = f(a) f(b)$ 。

下面我们证明欧拉函数 $\phi$ 是积性函数。

证法一（容斥原理）

用 $[n]$ 表示 $\{1,2,\dots, n\}$，$[0]:= \emptyset$ 。设 $n$ 有 $k$ 个不同的质因子：$p_1 < p_2 < \dots < p_k$，由容斥原理有

\begin{aligned}
\phi(n) &= \sum_{I\subseteq [k]} (-1) ^{|I|} \frac{n}{\prod_{i\in I}p_i} \\
&= n\sum_{I\subseteq [k]} 1^{k - |I|} \prod_{i\in I} -\frac{1}{p_i} \\
&= n (1 - \frac1{p_1}) ( 1 - \frac1{p_2}) \dots (1 - \frac1{p_k})
\end{aligned}

证法二（中国剩余定理）

设 $\gcd(a,b)=1$。设 $A,B,C$ 分别是模 $a,b,ab$ 的既约剩余系。我们证明：存在从 $A\times B$ 到 $C$ 的双射。

首先证明存在 $C\to A\times B$ 的单射，实际上有 $\forall x \in C$，$x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)$ 是单射。$\forall x, y \in C$，
\begin{cases}
x \equiv y\pmod a \\
x \equiv y\pmod b
\end{cases}
等价于
\begin{cases}
a\mid (x - y) \\
b\mid (x - y)
\end{cases}
这意味着 $\lcm(a,b)\mid (x -y)$ 。
若 $a\ne b$，则有 $a,b$ 互质，从而 $ab \mid (x - y)$，即 $x\equiv y \pmod{ab}$，所以 $x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)$ 是单射。

又根据中国剩余定理，$\forall r_1 \in A, r_2 \in B$，同余方程组
\begin{cases}
x \equiv r_1 \pmod{a}\\
x \equiv r_2 \pmod{b}
\end{cases}
在模 $ab$ 下有唯一解。