正规子群

正规子群的定义：

群 H 为 G 的子群，若对任意的 a ∈ G，都有 aH = Ha，则称 H 为 G 的一个正规子群，记作 H ◁ G。

 

正规子群例子：

1.特殊线性群  是一般线性群  的正规子群。

2.交错群  是对称群  的正规子群。

 

正规子群的性质：

1.设 H 是 G 的正规子群，K 是 G 包含 H 的子群，则 H 是 K 的正规子群。

 

小插曲：

共轭子群：

设 G 是一个群， g ∈ G，形如 （a ∈ G）的元素成为 g 的共轭元。若 H 是 G 的一个子群，则  为 G 的子群，成为 H 的一个共轭子群。

 

2.H 是 群 G 的正规子群当且仅当 H 的所有共轭子群等于 H。

 

3.设 H 和 K 为群 G 的子群，则

（1）.若 H 和 K 都是群 G 的正规子群，则 H 与 K 的乘积 HK 也是 G 的正规子群

（2）.若 H 和 K 都是群 G 的正规子群，则 H 与 K 的交 HK 也是 G 的正规子群

（3）.若 H 和 K 都是群 G 的正规子群，并且 H 与 K 的交为 { e }，则 hk = kh 对任意的 h ∈ H 和任意的 k ∈ K 成立

 

正规子群的练习：