[atAGC062E]Overlap Binary Tree

记\(m=\frac{n+1}{2}\)，即二叉树的叶子个数

对于合法序列，按以下方式生成其对应的二叉树：

（此处二叉树指无标号、以一个点为根且每个非叶节点恰有两个儿子的树）

• 恰存在一个区间与其余区间均有交，将其作为根并（在序列中）删除
• 恰存在一个\(i\in [1,n)\)使得\(\max_{1\le j\le i}R_{j}<L_{i+1}\)，将\([1,i]\)和\((i,n]\)作为左右子树并递归处理

另一方面，考虑一棵二叉树所对应的合法序列数：

从底向上依次确定\(L,R\)的相对顺序，考虑加入一个节点\(k\)

• 对于\(k\)的左右子树（点集分别为\(ls\)和\(rs\)），直接拼接即可

• 对于\(k\)自身，即要求\(L_{k}<\min_{i\in ls}R_{i}\)且 \(R_{k}>\max_{i\in rs}L_{i}\)，两者独立

  在相对顺序下，前者方案数也即\(\sum_{i\in ls}[L_{i}<\min_{i\in ls}R_{i}]+1\)，而这个值对于\(k\)恰\(+1\)（后者同理）

  换言之，两者分别为\(k\)左链和右链的长度（指边数）\(+1\)

另外，若钦定\(L_{i}+1=R_{i}\)，即使得其以\(i\)为左链或右链的末尾节点时不\(+1\)

记\(A\)为所有叶子向上"同方向"次数所构成的可重集，答案即\(\sum_{S\subseteq A,|S|=k}\prod_{i\in S}i!\prod_{i\in A-S}(i+1)!\)

对于二叉树，按以下方式生成其对应的新树：

（此处新树指无标号、以一条边为根、根边端点有序且每个点儿子间有序的树）

• 点集为所有叶子，并在（二叉树的）每个非叶节点左链和右链的末尾节点间连边
• 以二叉树根节点所对应的边为根，每个点的儿子按该边对应的非叶节点深度排序

注意到两者一一对应，且每个点的度数即为对应的叶子在\(A\)中的元素

换言之，问题即转换为以下形式：

对于所有\(m\)个点的新树，记\(D\)所有点度数所构成的可重集，求\(\sum_{S\subseteq D,|S|=k}\prod_{i\in S}i!\prod_{i\in D-S}(i+1)!\)之和

不妨对该树标号，记\(d_{i}\)为点\(i\)的度数，钦定\(S=\{d_{1},d_{2},...,d_{k}\}\)，并将最终答案除以\(k!(m-k)!\)即可

• 每次选择一个点及其一个儿子（编号），除其所在连通块的根外，其余无父亲节点均可作为该儿子

上述过程共\(m-2\)轮，第\(i\)轮方案数为\((m-i-1)(m-i)\)，最终根边端点有\(2\)种选法

同时，由于加边顺序并不影响，每棵树被计算\((m-2)!\)次，即\(\frac{2\prod_{i=1}^{m-2}(m-i-1)(m-i)}{(m-2)!}=2(m-1)!\)

综上，最终答案即\(\frac{2(m-1)!}{k!(m-k)!}[x^{n-1}](\sum_{i=1}^{m-1}i!x^{i})^{k}(\sum_{i=1}^{m-1}((i+1)!-i!)x^{i})^{m-k}\)，时间复杂度为\(O(n\log n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
const int mod=998244353;
int add(int x,int y){
	x+=y;
	return (x<mod ? x : x-mod);
}
int qpow(int n,int m){
	int s=n,ans=1;
	while (m){
		if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
		s=(ll)s*s%mod,m>>=1;
	}
	return ans;
}
namespace Poly{
	const int N=19;
	int n,tn,inv[1<<N],w[N][1<<N],iw[N][1<<N];
	void init(int g){
		inv[0]=inv[1]=1;
		for(int i=2;i<(1<<N);i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for(int i=0;i<N;i++){
			w[i][0]=iw[i][0]=1;
			w[i][1]=qpow(g,(mod-1>>i+1));
			iw[i][1]=qpow(w[i][1],mod-2);
			for(int j=2;j<(1<<i);j++){
				w[i][j]=(ll)w[i][1]*w[i][j-1]%mod;
				iw[i][j]=(ll)iw[i][1]*iw[i][j-1]%mod;
			}
		}
	}
	void get_n(int m){
		n=1,tn=0;
		while (n<m)n<<=1,tn++;
	}
	void dft(int *a){
		for(int i=n,t=0;i>1;i>>=1,t++){
			int *W=w[tn-t-1];
			for(int j=0;j<n;j+=i)
				for(int k=0;k<(i>>1);k++){
					int x=a[j+k],y=a[j+k+(i>>1)];
					a[j+k]=add(x,y);
					a[j+k+(i>>1)]=(ll)(x-y+mod)*W[k]%mod;
				}
		}
	}
	void idft(int *a){
		for(int i=2,t=0;i<=n;i<<=1,t++){
			int *W=iw[t];
			for(int j=0;j<n;j+=i)
				for(int k=0;k<(i>>1);k++){
					int x=a[j+k],y=(ll)W[k]*a[j+k+(i>>1)]%mod;
					a[j+k]=add(x,y),a[j+k+(i>>1)]=add(x,mod-y); 
				}
		}
		int inv=qpow(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)inv*a[i]%mod;
	}
	vi mul(vi a,vi b,int ma,int mb,int m){
		if (ma<0)ma=a.size();
		if (mb<0)mb=b.size();
		if (m<0)m=ma+mb-1;
		ma=min(ma,m),mb=min(mb,m);
		get_n(ma+mb-1);
		a.resize(n),b.resize(n);
		for(int i=ma;i<n;i++)a[i]=0;
		for(int i=mb;i<n;i++)b[i]=0;
		dft(a.data()),dft(b.data());
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
		idft(a.data()),a.resize(m);
		return a;
	}
	vi get_inv(vi a,int m){
		if (m==1)return vi{qpow(a[0],mod-2)};
		vi s=get_inv(a,(m+1>>1)),ans;
		get_n(m<<1);
		a.resize(n),s.resize(n),ans.resize(n);
		for(int i=m;i<n;i++)a[i]=0;
		dft(a.data()),dft(s.data());
		for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=(ll)s[i]*(mod+2-(ll)a[i]*s[i]%mod)%mod;
		idft(ans.data()),ans.resize(m);
		return ans;
	}
	vi get_ln(vi a,int m){
		if (m==1)return vi{0};
		vi ans(m-1);
		for(int i=1;i<m;i++)ans[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
		ans=mul(ans,get_inv(a,m),m-1,m,m);
		for(int i=m-1;i;i--)ans[i]=(ll)inv[i]*ans[i-1]%mod;
		ans[0]=0;
		return ans;
	}
	vi get_exp(vi a,int m){
		if (m==1)return vi{1};
		vi s=get_exp(a,(m+1>>1)),ans;
		s.resize(m),ans=get_ln(s,m);
		ans[0]=add(1,mod-ans[0]);
		for(int i=1;i<m;i++)ans[i]=add(a[i],mod-ans[i]);
		return mul(s,ans,(m+1>>1),m,m);
	}
	vi get_pow(vi a,int m,int k){
		if (!k){
			for(int i=0;i<m;i++)a[i]=(!i);
			return a;
		}
		int t=0;
		while ((t<m)&&(!a[t]))t++;
		if ((ll)t*k>=m)return vi(m,0);
		int s1=qpow(a[t],mod-2),s2=qpow(a[t],k);
		for(int i=t;i<m;i++)a[i-t]=(ll)s1*a[i]%mod;
		a=get_ln(a,m-t);
		for(int i=0;i<m-t;i++)a[i]=(ll)k*a[i]%mod;
		a=get_exp(a,m-t),a.resize(m);
		t*=k;
		for(int i=m-1;i>=t;i--)a[i]=(ll)s2*a[i-t]%mod;
		for(int i=0;i<t;i++)a[i]=0;
		return a;
	}
};
int n,m,k,ans;
int main(){
	Poly::init(3);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	m=(n+1>>1);
	if (k>m){puts("0");return 0;}
	if ((n==1)&&(k==1)){puts("1");return 0;}
	int s=1;vi v0(n,0),v1(n,0);
	for(int i=1;i<m;i++){
		s=(ll)s*i%mod;
		v0[i]=s,v1[i]=(ll)s*i%mod;
	}
	vi v=Poly::mul(Poly::get_pow(v0,n,k),Poly::get_pow(v1,n,m-k),n,n,n);
	ans=2LL*s*v[n-1]%mod,s=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)s=(ll)s*i%mod;
	for(int i=1;i<=m-k;i++)s=(ll)s*i%mod;
	ans=(ll)ans*qpow(s,mod-2)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}