2026.4.30.C2

Class 2

P4878 [USACO05DEC] Layout G
有关差分约束,要写出这题,需要完整的理解我们跑最短路是在干什么,详细见文章

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145. 超市
可以尝试使用反悔贪心的简单题,给可能没见过的人补个盲

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P16265 [蓝桥杯 2026 省 Python B 组] 蓝小圈

有关启发式的简单问题,很多时候,某些算法的时间复杂度并没有我们想象中那么大,
比如并查集的启发式合并

并查集常用路径压缩,任何实际上路径压缩后,其实会丢失一些路径的信息,导致难以维护我们想要的信息,但其实仅仅使用启发式合并,并查集的复杂度就很优秀了,查询和合并都是\(O(logn)\)的时间复杂度

值得一提是,这样的话,我们的并查集可以实现撤销最后一次合并的操作,即可撤销并查集,想要详细了解读者自己去了解

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E. Minimum Path Cover

很多时候考虑质数比考虑约数更好
顺带一提,这题的思路的发现,也是非常常见的思考方向,即一定程度上放宽问题条件去求解
对于这题就是把树退化成链,发现可以很简单的求解,然后我就不多说了,读者自己尝试思考

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有关约数和质数等简单常识补充

满足调和级数 \(\mathcal O\left( \dfrac{N}{1} +\dfrac{N}{2}+\dfrac{N}{3}+\dots + \dfrac{N}{N} \right)\)，可以用 $ \approx N\ln N$ 来拟合，但是会略小，误差量级在 \(10\%\) 左右。本地可以在500ms内完成 \(10^8\) 量级的预处理计算。

N的量级	1	2	3	4	5	6	7	8	9
素数数量	4	25	168	1‘229	9’592	78‘498	664’579	5‘761’455	50‘847’534

除此之外，对于任意两个相邻的素数 \(p_1,p_2 \le 10^9\) ，有 \(|p_1-p_2|<300\) 成立，更具体的说，最大的差值为 \(282\) 。

因数最多数字与其因数数量

N的量级	1	2	3	4	5	6	7
因数最多数字的因数数量	4	25	32	64	128	240	448
因数最多的数字	-	-	-	7560, 9240	83160, 98280	720720, 831600, 942480, 982800, 997920	-

经常因为这些数导致算法超时,所以需要合理评估自己算法的时间的上界
有关约数个数的估计看网上的文章,当然,你也可以用这些数去尝试hack别人的代码

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