二项式反演小笔记
二项式反演小笔记
总体来讲是对XuYueming巨佬笔记的摘抄，或者对他笔记的简化版。省略了很多详尽的证明过程以及例题，但是关键的知识脉络框架都在就对了。
原版链接：这里
引理
Lemma-1
\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^i=[n=0]\)。
- 本质上为二项式定理推论。取二项式定理中 \(a=1,b=-1\) 即得。
Lemma-2
\(|\bigcup_{i=1}^nS_i|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^m|S_{a_i}\)。
- 说人话，这东西 \(n=3\) 的时候就是那个 \(|A\cup B\cup C|=(|A|+|B|+|C|)-(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|)+(|A\cap B\cap C|)\)。
Lemma-3
\(\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\)
- 考虑组合意义即可。等号左边相当于把 \(n\) 个元素分成 \(n-i\)、\(i-j\)、\(j\) 三份。右边则为 \(j\)、\(i-j\)、\(n-j-(i-j)=n-i\) 三份。显然二者等价。
第零定理
Theorem-0
\(g(x)=\sum_{i=0}^x(-1)^i\binom{x}{i}f(i)\Leftrightarrow f(x)=\sum_{i=0}^x(-1)^i\binom{x}{i}g(i)\)。
原博客认为虽然这个模型不太能赋予什么组合意义，但是理解它的证明模式对于理解后文非常重要。这里略述。
容斥一句话证明
基于 \(|\bigcap_{i=1}^n\overline{S_i}|=|U|-|\bigcup_{i=1}^nS_i|\) 和 \(\overline{\overline{S_i}}=S_i\)，你令 \(f(x)\) 表示任意 \(x\) 个 \(\overline{S_i}\) 的交集大小，\(g(x)\) 表示任意 \(x\) 个 \(S_i\) 的交集大小，把引理二写开之后就发现把 \(f(x),g(x)\) 代换进去就有如上关系式。
代数一句话证明
把 \(f(x)=\dots\) 里的 \(g(i)\) 用 \(f(i)\) 带掉，尝试证明左右两边恒等：交换求和符号（即改变枚举顺序），然后用一下上文的引理三和引理一即可。
钦定类问题
概述
下文包含大段摘抄。
所谓「钦定类问题」，指的是我们在解决问题时，强制选择某些限制必须满足，不管剩下的限制，即剩下的限制可以满足可以不满足。这个强制选择某些限制必须满足的过程，就是「钦定」。我们发现，在「钦定」后的基础上求解问题，就不需要考虑限制的问题，也就方便了我们对问题的求解。
在「钦定意义」下，我们能够求出「至少」满足 \(x\) 个限制的答案；也可以通过「钦定」\(n-x\) 个限制不能满足，求出在「钦定意义」下，「至多」满足 \(x\) 个限制的答案，这将在下文进一步说明。注意到，这里的「至少」与「至多」是「钦定意义」下的，不是通常意义下的。也就是说可能会有重复计数的问题，我们将在下文进一步分析。
为了方便叙述，假设下文的「至少」和「恰好」均为「钦定意义」下的。
说大白话，举个例子。\(3\) 个元素摆在你面前。你钦定选 \(2\) 而随便选上了 \(1,3\) 和你钦定选 \(1\) 而随便选上了 \(2,3\) 视作两种方案。
Theorem-1a：钦定至少
此模型用来解决「钦定意义」下「至少」和「恰好」的转化。假设原问题有 \(n\) 个限制，我们设\(f(x)\) 表示「恰好」满足 \(x\) 个限制的方案数，\(g(x)\) 表示「至少」满足 \(x\) 个限制的方案数。那么 \(f(x)\) 即为我们的答案，而 \(g(x)\) 就是我们通过其他算法求出的结果。
例题：LGP6512
题意简述：
————————————
给你 \(n\) 个长度为 \(4\) 的字符串，你需要在其中挑出两个送给她，满足恰好有 \(m\) 位不同，请问你有多少种选择的方案。
“恰好有 \(m\) 位不同”显然和“恰好有 \(4-m\) 位相同”是一个意思。我们不妨转化为“相同”考虑，这样思考起来更符合直觉。
你将“第 \(i\) 位相同”看做一个限制。我们现在要求的就是“恰好满足 \(m\) 个限制”的方案数，即求 \(f(m)\)。
考虑上二项式反演。我们发现由于每个字符串都是个整体，不能分割开来考虑，所以以“研究更小规模问题”视角考虑的“选择”模型并不适用。我们需要使用“钦定”模型。
设 \(g(i)\) 为钦定 \(i\) 个位置必须相同的方案数。具体的判别用字符串哈希统计。最后反演一波即可。
Theorem-1b：钦定至多
使用「钦定」求出的答案一般来说都是「至少」满足的答案。但是，有一些问题，我们会通过「钦定」 \(n-x\) 个限制不能满足，求出在「钦定意义」下，「至多」满足 \(x\) 个限制的答案。在「钦定意义」下，「至多满足 \(x\) 个限制」等价于「至少不满足 \(n-x\) 个限制」。因为我们总是可以把「不满足原问题限制」看做一个新的限制。因此套用钦定至少时的的反演公式，就可以推出钦定至多时的反演公式。
选择类问题
概述
下文又包含大段摘抄。
「选择类问题」问题下的「至少」/「至多」其实就是「传统意义」下的「至少」/「至多」。但是之所以称作其为「选择类问题」，就是为了和上文提到的「钦定类问题」做区别。和「钦定意义」下的「至少」/「至多」不同，「选择意义」下的「至少」/「至多」并不会重复统计，这是这两类问题不同的关键之所在。「传统意义」下「至多」满足 \(x\) 个限制的答案，不就像采用「选择」的方式，从 \(x\) 个限制中，选择出若干限制并满足吗？「至少」也同理。
并且这类问题的限制是等价的，比如染 \(n\) 种颜色，如果把染第 \(i\) 种颜色看做限制 \(i\)，那么这 \(n\) 种颜色是完全等价的；又比如有 \(n\) 行，行与行之间互不干扰，那么这 \(n\) 行是完全等价的。
在「选择意义」下，我们能够求出「至多」满足 \(x\) 个限制的答案；类似地，通过在 \(n-x\) 个限制中，「选择」出不满足的限制，可以求出在「选择意义」下，「至少」满足 \(x\) 个限制的答案。
为了方便叙述，假设下文的「至少」和「恰好」均为「选择意义」下的。
与“钦定”相比，“选择”拿东西的时候可就没有顺序讲究了。\(\{1,2,3\}\) 就是一种方案。
Theorem-2b：选择至多
注意，由于直接「选择」求出的是「至多」，我们先来分析「选择意义」下「恰好」与「至多」的转化。
记 \(f(x)\) 表示「恰好」满足 \(x\) 个限制的方案数，\(g(x)\) 表示满足「至多」\(x\) 个限制的方案数。
由于这 \(n\) 种限制等价，所以这里 \(g(x)\) 并不包括从 \(n\) 种限制中选出 \(x\) 种限制，也就是没有 \(\binom{n}{x}\) 的系数。\(f(x)\) 同理。这和「钦定类问题」是不同的。
进一步解释一下：“选择”相比于原问题更像是在解决一个规模更小的问题，这个子问题是不区分它包含父问题中的哪些元素的。比如我们有一个四个元素的局面。每个元素可以取 \(0\) 或者 \(1\)。我们考虑 \(g(2)\)，定义它为“至多满足两个限制的条件数”。它的方案数就是局面为 \(00,01,10,11\) 的方案数之和。其中 \(01\) 和 \(10\) 的方案数都为 \(f(1)\)。
我们发现 \(g(2)\) 恰好不重不漏统计了，在 \(2\) 种限制下，所有局面的方案数，不管这些局面满足了多少个限制。
从这里，我们可以更清晰出所谓「选择」是什么意思。
Theorem-2a：选择至少
同理，对于某些问题，我们会通过在 \(n-x\) 个限制中，「选择」出不满足的限制，求出在「选择意义」下，「至少」满足 \(x\) 个限制的答案。
在「选择意义」下，同样有「至少满足 \(x\) 个限制」等价于「至多不满足 \(n-x\) 个限制」。我们如法炮制，套用之前模型的反演公式即可推导。
Extra：二元二项式反演
总结
下文还有大段复制粘贴。
二项式反演为我们提供了一种灵活处理「至少」/「至多」与「恰好」之间转换的方法。在信息学竞赛中的许多问题，特别是涉及到组合计数、限制条件的题目中，二项式反演是非常有效的工具。
并且我们弄清算出的「至少」/「至多」有没有重复计数的问题，思考是「钦定类问题」还是「选择类问题」，从而选择正确的模型解决问题。
对于式子的记忆和熟练运用，需要读者不断练习巩固。「钦定类问题」下「至少」\(\Longleftrightarrow\)「恰好」、「选择类问题」下「至多」\(\Longleftrightarrow\)「恰好」两条式子可谓是「二项式反演」精髓所在，由这两条式子可以推导出另外两条式子。
希望这篇文章能帮助你更好地理解和应用二项式反演。
还有很多例题什么的找时间再写。
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