CF2152F Triple Attack

CF2152F Triple Attack

1.简化题意

给你 \(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n\) 的不降序列，询问 \(q\) 次。

在 \([l,r]\) 内，最多选择几个元素，使得任意三个元素 \(x_i,x_j,x_k(i<j<k)\)，有 \(x_k-x_i > z\)。

有多测。

2.思路

首先有一个简单的暴力：取最开始的两个端点，然后一直选当前能选到的最小数。

简单证明：我们可以设 \(x_i + z\) 以后第一个数为 \(F_i\)，发现单调不降，故有最优左端点选法。

3.优化

显然上述做法是 \(O(nq)\) 的，考虑朝 \(i \to F_i\) 连一条边。

这样形成了一个树形结构，我们可以通过暴力求出答案。

现在问题来到了树上，我们可以处理出来倍增数组进行跳跃。

具体的，最开始我们选中 \(l,l+1\) 两个点（贪心），那么跳跃的时候，我们记下一次跳到 \(\operatorname{LCA},\operatorname{LCA + 1}\) 为一次跳跃，发现这个过程可以用倍增维护。

如果不能再进行两个点的 \(\operatorname{LCA}\) 跳跃，两个点分开跳到 \(r\) 的地方。

所以我们做两次倍增，一次给 \(\operatorname{LCA}\)，另外一次给成对的跳跃。

\(\Large \mathscr{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 100;
int n, k, T, val[N], q;
vector<int> g[N];
int dep[N], fa[N][25], lca[N][20], sum[N][20];
void dfs(int u, int fath) {
	fa[u][0] = fath;
	dep[u] = dep[fath] + 1;
	for (int i = 1; i <= 19; i++) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
	for (int e : g[u]) {
		if (e == fath) continue;
		dfs(e, u);
	}
}
int LCA(int x, int y) {
	if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	for (int i = 19; ~i; i--) if (dep[fa[x][i]] >= dep[y]) x = fa[x][i];
	if (x == y) return x;
	for (int i = 19; ~i; i--) if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i], y = fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void solve() {
	for (int i = 0; i <= n; i++) g[i].clear();
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> val[i];
	int pos = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (pos <= n && val[pos] <= val[i] + k) pos++;
		if (pos <= n) g[pos].push_back(i);
		else g[0].push_back(i);
	}
	dfs(0, 0);
	for (int i = 1; i < n; i++) lca[i][0] = LCA(i, i + 1), sum[i][0] = dep[i] + dep[i + 1] - 2 * dep[lca[i][0]];
	for (int i = 1; i <= 19; i++) {
		for (int j = 1; j < n; j++) {
			lca[j][i] = lca[lca[j][i - 1]][i - 1];
			sum[j][i] = sum[j][i - 1] + sum[lca[j][i - 1]][i - 1];
		}
	}
	cin >> q;
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		if (l == r) {
			cout << 1 << '\n';
			continue;
		}
		if (r == l + 1) {
			cout << 2 << '\n';
			continue;
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 19; ~i; i--) {
			if (lca[l][i] && lca[l][i] <= r) {
				ans += sum[l][i];
				l = lca[l][i];
			}
		}
		if (l == r) {
			cout << ans + 1 << '\n';
			continue;
		}
		int L = l, R = l + 1;
		for (int i = 19; ~i; i--) {
			if (fa[L][i] && fa[L][i] <= r) L = fa[L][i];
			if (fa[R][i] && fa[R][i] <= r) R = fa[R][i];
		}
		cout << ans + dep[l] - dep[L] + 1 + dep[l + 1] - dep[R] + 1 << '\n';
	}
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> T;
	while (T--) solve();
	return 0;
}