洛谷P6864 [RC-03] 记忆

洛谷P6864 [RC-03] 记忆

今日模拟赛，看见此题，苦思冥想许久，度一时辰，未果，见洛谷一番目题解与吾之胡思甚像，懊悔不已，又见矩阵线段树做法，码甚清晰，大喜，故记之。

传送门

显然有一个暴力分，如果没有 \(3\) 操作，那么简记当前的括号序列 \(\underbrace{()()() \dots ()}_{k个}\)。

如果加上操作 \(1\)，\(k \to k+1\)，对答案贡献为 \(k+1\)（因为右端为加入的括号，左端随便选）。

如果加上操作 \(2\)，\(k = 1\)，对答案贡献为 \(1\)。

这显然是 \(O(n)\) 的。

直接讲正解。

因为有了操作 \(3\)，我们构造矩阵 \(\begin{bmatrix} ans&k&1 \end{bmatrix}\)。

初始时操作序列都为单位矩阵。

操作 \(1\)，构造矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}\)。

操作 \(2\)，构造矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}\)。

对于操作 \(3\)，让矩阵在单位矩阵与操作矩阵间来回翻转就可以了。

\(\huge \mathscr{Code}\)

#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
#define mem(a) memset((a),0,sizeof (a))
using namespace std;
const int N = 2e5+100;
int n,ans,x,canc[N],operate[N],rec[N];
struct Matrix{
	int m[4][4];
	friend Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){
		Matrix p;
		memset(p.m,0,sizeof(p));
		for(int i=1;i<=3;i++) for(int j=1;j<=3;j++) for(int k=1;k<=3;k++) p.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];			
		return p;
	}
	void Print_Matrix(){
		for(int i=1;i<=3;i++){
			for(int j=1;j<=3;j++){
				cout<<m[i][j]<<' ';	
			}cout<<'\n';
		}
	}
};
void Normal(Matrix &p) {mem(p.m),p.m[1][1] = p.m[2][2] = p.m[3][3] = 1;}
void Op1(Matrix &p) {mem(p.m),p.m[1][1] = p.m[2][2] = p.m[3][3] = p.m[2][1] = p.m[3][1] = p.m[3][2] = 1;}
void Op2(Matrix &p) {mem(p.m),p.m[1][1] = p.m[3][1] = p.m[3][2] = p.m[3][3] = 1;}
struct node{
	int l,r;
	Matrix ans;
}T[N<<2];
void pushup(int u){
	T[u].ans = T[u*2].ans*T[u*2+1].ans;
}
void build(int u,int l,int r){
	T[u].l = l,T[u].r = r;
	if(l==r){
		Normal(T[u].ans);
		return;
	}
	int mid = (T[u].l+T[u].r)>>1;
	build(u*2,l,mid),build(u*2+1,mid+1,r);
	pushup(u);
}
void update(int u,int q,int op){
	if(T[u].l==T[u].r){
		op==3?Normal(T[u].ans):op==1?Op1(T[u].ans):Op2(T[u].ans);
		return;
	}
	int mid = (T[u].l+T[u].r)>>1;
	if(q<=mid) update(u*2,q,op);
	else update(u*2+1,q,op);
	pushup(u);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rec[i] = i;
		cin>>operate[i];
		if(operate[i]==3){
			cin>>x;
			rec[i] = rec[x];
			canc[rec[i]] ^= 1;
			update(1,rec[i],canc[rec[i]]?3:operate[rec[i]]);
		}
		if(operate[i]==2) update(1,i,2);
		if(operate[i]==1) update(1,i,1);
		Matrix p;
		mem(p.m);
		p.m[1][1] = p.m[1][2] = p.m[1][3] = 1;
		p = p*T[1].ans;
		cout<<p.m[1][1]<<'\n';
	}
	return 0;
}

小结：什么时候可以想到矩阵乘法？

首先当前操作对之后的操作没有影响。

其次，操作后的贡献只取决于之前的贡献。