第三心脏

第三心脏。

给定正整数 \(a\)，构造三个正整数 \(b,c,d\)，使得：

• \(\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=a \oplus b \oplus c \oplus d\)

• \(a < b < c < d < 2^{63}\)

无解输出 \(-1\)。\(1 \leq a \leq 10^9\)。

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输出 \(-1\)，获得 \(0\) 分。

猜测一定有解，接下来我们考虑直接构造解。

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原题条件等价于 \(a^2+b^2+c^2+d^2=(a \oplus b \oplus c \oplus d)^2\)。

考虑对于一个 \(a\)，若 \(a\) 是偶数，我们构造 \(\dfrac{a}{2}\) 的解，再将所有数乘 \(2\)。

此时对于特殊性质 A，我们只需要找到一组 \(a=1\) 的解即可。

//Ad astra per aspera
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
	int a=1;
	for(int b=a+1;b<=100;b++){
		for(int c=b+1;c<=100;c++){
			for(int d=c+1;d<=100;d++){
				if(a*a+b*b+c*c+d*d==(a^b^c^d)*(a^b^c^d)){
					printf("%d %d %d %d\n",a,b,c,d);
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}

运行程序，注意到一组较小的解为 \((a,b,c,d)=(1,5,7,37)\)。

也就是说，\(a = 2^k\) 时，\((a,5 \times 2^k,7 \times 2^k,37 \times 2^k)\) 是合法解。

A 性质 \(10\) 分。

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考虑 \(a = a' \times 2^k\) 时，我们要找到 \(a'\) 对应的 \(b',c',d'\)。

下文中，令 \(a,b,c,d\) 指代 \(a',b',c',d'\)。显然，\(a\) 是奇数。

直接构造会非常困难，我们不妨钦定一些东西。

思考一下，\(b,c,d\) 是对称的，也就是说不需要强制 \(a<b<c<d\)，只要互不相同。

不妨钦定 \(a \oplus b \oplus c\) 是一个常数。

考虑 \(a \oplus b \oplus c = 0\)，显然此时 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = d^2\)，不可能。

那么考虑 \(a \oplus b \oplus c = 1\)，显然此时 \(a^2 + b^2 + c^2 = 2d + 1\)。

我们需要让 \(a^2 + b^2 + c^2\) 是奇数，此时 \(b\) 与 \(c\) 奇偶性相同，这很有道理。

容易想到构造两个偶数。为了使异或和为 \(1\)，考虑钦定 \(b = 2^p\)，\(c = 2^p + a - 1\)。

例如 \(a = 3\) 时，我们可以构造 \(b = 4\)，\(c = 6\)。

此时我们令 \(b\) 是满足条件的最小值，显然 \(d\) 在量级上就是比 \(a,b,c\) 大的。

而且当 \(a > 1\) 时，这个构造本身就满足 \(a < b < c < d\)。

特判 \(a=1\) 即可。

这能想到的是人？

//Ad astra per aspera
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
	long long a,b,c,d,k=0;
	scanf("%lld",&a);
	while(a%2==0){
		k++;
		a>>=1;
	}
	if(a==1){
		b=5;
		c=7;
		d=37;
	}
	else{
		b=1;
		while(b<=a){
			b<<=1;
		}
		c=a+b-1;
		d=(a*a+b*b+c*c-1)>>1;
	} 
	printf("%lld %lld %lld",b<<k,c<<k,d<<k);
	return 0;
}

第三心脏。