Queue Sorting

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\)。

若长度为 \(m = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i\) 的序列 \(B\) 满足下列条件，则称其为好序列：

• 对于所有 \(i \in [1,n]\)，\(B\) 中恰好包含 \(a_i\) 个 \(i\)。

• \(B\) 可以被拆分成至多两个不下降子序列。

求满足条件的序列 \(B\) 数量，对 \(998244353\) 取模。

\(1 \leq n \leq 500\)，\(0 \leq a_i \leq n\)，\(1 \leq m \leq 500\)。

---

由经典结论，可知条件等价于 \(B\) 的最长下降子序列长度 \(\leq 2\)。

为了方便，我们将 \(B\) 翻转，我们需要让 \(B\) 的最长上升子序列长度 \(\leq 2\)。

考虑将所有数从小到大加入序列，计算当前的序列方案数。

我们容易发现，在第一个长度为 \(2\) 的最长上升子序列后，不能再加入新的数。

设当前加入了 \(1\) 到 \(i\) 的所有数，只能在第 \(j\) 个数前加数，此时方案数为 \(d_{i,j}\)。

接下来加入第 \(i+1\) 个数，有如下情况：

• 在序列开头加数

• 在第 \(j\) 个数前加数。

不妨设第一种情况加入了 \(x\) 个数，第二种情况在原序列的第 \(y\) 个数后开始加数。

此时 \(dp_{i,j}\) 会转移到 \(dp_{i+1,x+y+1}\)，接下来考虑转移系数。

也就是说，现在我们要在 \(j-y\) 个空里填 \(a_{i+1} - x\) 个数，其中第一个空必填。

此时对应的方案数为 \(\dbinom{a_{i+1} - x + j - y - 2}{j - y - 1}\)。

dp 即可，注意特判 \(x = a_{i+1}\)。