[CCO 2018] Boring Lectures 加强版

下文中的题目描述可能与原题不同。

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\) 和整数 \(k\)，定义 \(f(A) = \max\limits_{|i - j| \in [1,k]} a_i + a_j\)。

有 \(q\) 次修改，每次将 \(a_x\) 修改为 \(y\)。你需要在所有修改前和每次修改后求出 \(f(A)\)。

\(1 \leq n,q \leq 10^6\)，\(1 \leq k < n\)，\(1 \leq a_i \leq 10^9\)，强制在线。

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考虑原序列的最大值，不妨设为 \(a_i\)。

• 结论 \(1\)：假设 \(a_i\) 没有被选中，则 \(a_{i-k}\) 到 \(a_{i+k}\) 也一定不会被选中。

假设选了 \(a_{i-k}\) 到 \(a_{i+k}\) 其中的一个数，接下来选择 \(a_i\) 必然最优，矛盾。

考虑如果选择了 \(a_i\)，显然再选一个 \(a_{i-k}\) 到 \(a_{i+k}\) 中的数即可。

否则 \(a_{i-k}\) 到 \(a_{i+k}\) 都不被选，此时剩余的左右两边是相互独立的，分治即可。

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接下来考虑优化这一过程。

考虑对序列分块，块长为 \(k\)，接下来刻画找最大值的过程。

我们考虑对于每一块的最大值，都尝试做上面的过程，感性理解一下，这就是答案。

首先，对于每一块的最大值，其必然能覆盖当前的块，也就是说每个值都会被考虑到。

其次，对于每个值，其必然能被附近的最大值覆盖，差不多就是对的。

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我们维护每个块，使用线段树找区间最大值即可。

对于所有块，使用 map 或者 unordered_set 维护，时间复杂度 \(O(n \log n)\)。