【PR #4】到底有没有九

给定整数 \(n\) 和 \(k\)。定义整数 \(x\) 是好的，当且仅当 \(x\) 满足下列条件：

• \(x \times (10^k - 1)\) 的十进制表示中不包含 \(9\)。

求第 \(n\) 个好的整数 \(x\)，其中 \(1 \leq k \leq 18\)，\(1 \leq n \leq 10^{18}\)。

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考虑刻画 \(x \times (10^k - 1)\) 的值，令 \(y = x \times (10^k - 1)\)。

则此时需要让 \(y\) 的十进制表示中不包含 \(9\)，且 \(y\) 是 \(10^k - 1\) 的倍数。

记第 \(n\) 个 \(x\) 为 \(x_0\)，第 \(n\) 个 \(y\) 为 \(y_0\)，则 \(y_0 = x_0 \times (10^k - 1)\)。

也就是说，我们只需要算出 \(y_0\) 即可。

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• 结论 \(1\)：\(y_0\) 的位数是 \(O(k + \log n)\) 的。

不包含 \(9\) 的 \(t\) 位数约有 \(9^t\) 个，其不是 \(10^k - 1\) 的倍数的概率约为 \(10^{-k}\)。

也就是说，\(t\) 位数中满足条件的 \(y\) 约有 \(\dfrac{9^t}{10^k}\) 个。

考虑 \(\dfrac{9^t}{10^k}\) 约为 \(n\)，即 \(9^t\) 约为 \(10^k \times n\)。

也就是说，\(t\) 约为 \(\log_9(10^k \times n)\)，即 \(t\) 是 \(O(k + \log n)\) 的。

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不妨钦定 \(y\) 的位数为 \(t\)，不足时在高位补 \(0\)。

考虑常见的套路，我们逐位确定答案。

记 \(y = \overline{y_1 y_2 \dots y_t}\)，我们要回答 \(O(k + \log n)\) 次下面的询问：

• 给定 \(y_1,y_2,\dots,y_p\)，求此时合法的 \(y\) 个数。

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考虑小学奥数经典结论：

• 将 \(y\) 从最低位开始 \(k\) 位一断，所有段的和 \(s\) 与 \(y\) 在模 \(10^k - 1\) 意义下同余。

由于 \(k\) 和 \(t\) 很小，分成的段数不会很多。

从低往高填数即可，进行 dp，复杂度不知道，反正能过。