竞赛图

竞赛图满足任意两点之间有且仅有一条有向边。

• 性质 \(1\)：竞赛图的导出子图仍然是竞赛图。

这条性质显然。

• 性质 \(2\)：竞赛图缩点后得到的仍然是竞赛图。

这条性质也显然。

• 性质 \(3\)：竞赛图缩点后的拓扑序唯一。

缩点后得到的图一定是 DAG。由性质 \(2\)，这个 DAG 也是竞赛图。

若拓扑序不唯一，说明存在两点间的偏序关系不唯一，与竞赛图的性质矛盾。

• 性质 \(4\)：竞赛图必然存在哈密顿路径。

考虑归纳证明，对于 \(n \leq 2\) 此性质必然成立，不妨设 \(n = n_0\) 时性质成立。

设前 \(n_0\) 个点的哈密顿路径为 \(v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \dots \rightarrow v_{n_0}\)，此时将 \(n_0 + 1\) 加入路径。

有以下两种简单的情况：

• \(n_0 + 1 \rightarrow v_1\)，此时有 \(n_0 + 1 \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \dots \rightarrow v_{n_0}\)。

• \(v_{n_0} \rightarrow n_0 + 1\)，此时有 \(v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \dots \rightarrow v_{n_0} \rightarrow n_0 + 1\)。

若上面两种情况不成立，说明必然存在 \(v_1 \rightarrow n_0 + 1\) 和 \(n_0 + 1 \rightarrow v_{n_0}\)。

考虑一个 \(01\) 序列 \(a\)，\(a_i = 0\) 表示 \(v_i \rightarrow n_0 + 1\)，\(a_i = 1\) 表示 \(n_0 + 1 \rightarrow v_i\)。

显然我们有 \(a_1 = 0\)，\(a_{n_0} = 1\)，则必然会有一个 \(i\) 使得 \(a_i = 0\) 且 \(a_{i+1} = 1\)。

则此时有 \(v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \dots \rightarrow v_i \rightarrow n_0 + 1 \rightarrow v_{i+1} \rightarrow v_{i+2} \rightarrow \dots \rightarrow v_{n_0}\)。

• 性质 \(5\)：强连通竞赛图必然存在哈密顿回路。

咕咕咕