[NOIP2023] 双序列拓展

定义长度为 \(n\) 的序列 \(B\) 是长度为 \(m\) 的序列 \(A\) 的拓展，当且仅当存在长度为 \(m\) 的正整数序列 \(L\)，使得将 \(a_i\) 替换成 \(l_i\) 个 \(a_i\) 后序列 \(A\) 与序列 \(B\) 相同。

给定长度为 \(n\) 的序列 \(X\) 和长度为 \(m\) 的序列 \(Y\)。判断是否能找到长度为 \(l=10^{100}\) 的两个序列 \(F\) 和 \(G\)，使得 \(F\) 是 \(X\) 的拓展，\(G\) 是 \(Y\) 的拓展，且对于任意 \(i,j \in [1,l]\)，\((f_i-g_i)(f_j-g_j)>0\) 成立。

\(q \leq 60\) 组数据，\(1 \leq n,m \leq 5 \times 10^5\)。

容易发现 \(x_1=f_1\)，\(y_1=g_1\)。不妨钦定 \(f_1<g_1\)，即 \(x_1<y_1\)。此时问题条件等价于对于所有 \(i\)，都有 \(f_i<g_i\)。

我们考虑将 \(f_i>g_i\) 的条件转化为对序列 \(X\) 和 \(Y\) 的约束。不妨对下标进行匹配，则对于每组匹配的下标 \((i,j)\)，都有 \(x_i<y_j\)。初始时匹配的下标为 \((1,1)\)，最后匹配的下标为 \((n,m)\)。考虑若当前匹配的下标为 \((i,j)\)，则下一步匹配的下标一定为 \((i+1,j)\)，\((i,j+1)\) 或 \((i+1,j+1)\)。我们可以将其看成网格图，点 \((i,j)\) 能经过当且仅当 \(x_i<y_j\)，判断是否存在从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的路径，每一步只能往下，往右或往右下走。

接下来进行观察：

性质 \(1\)：若存在满足条件的路径，则一定存在一条从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的路径，每一步只能往下或往右走。

证明 \(1\)：考虑若能够从 \((i,j)\) 到 \((i+1,j+1)\)，则必有 \(x_i<y_j\) 且 \(x_{i+1}<y_{j+1}\)。此时不难发现 \(x_i<y_{j+1}\) 与 \(x_{i+1}<y_j\) 必然有至少一条成立。若否，此时有 \(x_i < y_j \leq x_{i+1} < y_{j+1} \leq x_i\)，推出 \(x_i < x_i\)，矛盾。则必然存在一条路径，只能往下或往右走。

发现没有思路，于是你打开了特殊性质：

保证 \(x_n\) 是 \(X\) 的唯一最小值，\(y_m\) 是 \(Y\) 的唯一最大值。

特殊性质给的很吓人，考虑这有什么用。首先我们发现，若某一行或某一列的格子全部无法经过，则必然无解。此时对应 \(x_{\max} \geq y_{\max}\) 或 \(x_{\min} \geq y_{min}\)。

此时我们必然有 \(x_{\max} < y_{\max}\) 且 \(x_{\min} < y_{\min}\)。这意味着 \(x_i < y_m\) 与 \(x_n < y_j\)，则第 \(n\) 行和第 \(m\) 列的所有格子均可通过。所以，只要到达了第 \(n\) 行或第 \(m\) 列，就一定能到达终点。

接下来我们考虑递归下去。我们找到 \(x_1\) 到 \(x_{n-1}\) 的最小值 \(x_p\)，以及 \(y_1\) 到 \(y_{m-1}\) 的最小值 \(y_q\)。若 \(x_p<y_q\)，则对于 \(j \in [1,m-1]\)，必有 \(x_p < y_j\)，即第 \(p\) 行是可以通过的，问题缩小到 \(n=p\) 的情况。同理，找到 \(x_1\) 到 \(x_{n-1}\) 的最大值 \(x_r\)，以及 \(y_1\) 到 \(y_{m-1}\) 的最大值 \(y_s\)。若 \(x_r < y_s\)，则对于 \(i \in [1,n-1]\)，必有 \(x_i < y_s\)，问题缩小到 \(m=s\) 的情况。若两者都不成立，容易发现此时必有一行一列是不可通过的，\((1,1)\) 必然无法到达第 \(n\) 行或第 \(m\) 列。当递归到 \(n=1\) 或 \(m=1\) 时，此时必然有解。

考虑非特殊性质怎么做。特殊性质其实我们找到 \(X\) 的最小值 \(x_a\) 和 \(Y\) 的最大值 \(y_b\)。先特判 \(x_{\max} \geq y_{\max}\) 或 \(x_{\min} \geq y_{min}\)，判断后第 \(a\) 行和第 \(b\) 列必然可以通过，按照上面的方法，对左上和右下两部分分别执行算法即可。

时间复杂度 \(O(q(n+m))\)，可以通过。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int c,n,m,q,x[500010],y[500010],x_tmp[500010],y_tmp[500010];
int len_f,len_g,f[500010],g[500010];
int f_max_l[500010],f_max_r[500010],f_min_l[500010],f_min_r[500010];
int g_max_l[500010],g_max_r[500010],g_min_l[500010],g_min_r[500010];
bool check1(int x_pos,int y_pos){
	if(x_pos==1  ||  y_pos==1){
		return true;
	}
	int x_min_pos=f_min_l[x_pos-1],x_max_pos=f_max_l[x_pos-1],y_min_pos=g_min_l[y_pos-1],y_max_pos=g_max_l[y_pos-1];
	if(f[x_min_pos]<g[y_min_pos]){
		return check1(x_min_pos,y_pos);
	}
	else if(f[x_max_pos]<g[y_max_pos]){
		return check1(x_pos,y_max_pos);
	}
	else{
		return false;
	}
}
bool check2(int x_pos,int y_pos){
	if(x_pos==len_f  ||  y_pos==len_g){
		return true;
	}
	int x_min_pos=f_min_r[x_pos+1],x_max_pos=f_max_r[x_pos+1],y_min_pos=g_min_r[y_pos+1],y_max_pos=g_max_r[y_pos+1];
	if(f[x_min_pos]<g[y_min_pos]){
		return check2(x_min_pos,y_pos);
	}
	else if(f[x_max_pos]<g[y_max_pos]){
		return check2(x_pos,y_max_pos);
	}
	else{
		return false;
	}
}
bool check(){
	f_max_l[1]=f_min_l[1]=1;
	for(int i=2;i<=len_f;i++){
		if(f[i]<f[f_max_l[i-1]]){
			f_max_l[i]=f_max_l[i-1];
		}
		else{
			f_max_l[i]=i;
		}
		if(f[i]>f[f_min_l[i-1]]){
			f_min_l[i]=f_min_l[i-1];
		}
		else{
			f_min_l[i]=i;
		}
	} 
	f_max_r[len_f]=f_min_r[len_f]=len_f;
	for(int i=len_f-1;i>=1;i--){
		if(f[i]<f[f_max_r[i+1]]){
			f_max_r[i]=f_max_r[i+1];
		}
		else{
			f_max_r[i]=i;
		}
		if(f[i]>f[f_min_r[i+1]]){
			f_min_r[i]=f_min_r[i+1];
		}
		else{
			f_min_r[i]=i;
		}
	}
	g_max_l[1]=g_min_l[1]=1;
	for(int i=2;i<=len_g;i++){
		if(g[i]<g[g_max_l[i-1]]){
			g_max_l[i]=g_max_l[i-1];
		}
		else{
			g_max_l[i]=i;
		}
		if(g[i]>g[g_min_l[i-1]]){
			g_min_l[i]=g_min_l[i-1];
		}
		else{
			g_min_l[i]=i;
		}
	} 
	g_max_r[len_g]=g_min_r[len_g]=len_g;
	for(int i=len_g-1;i>=1;i--){
		if(g[i]<g[g_max_r[i+1]]){
			g_max_r[i]=g_max_r[i+1];
		}
		else{
			g_max_r[i]=i;
		}
		if(g[i]>g[g_min_r[i+1]]){
			g_min_r[i]=g_min_r[i+1];
		}
		else{
			g_min_r[i]=i;
		}
	}
	int x_min_pos=f_min_l[len_f],x_max_pos=f_max_l[len_f],y_min_pos=g_min_l[len_g],y_max_pos=g_max_l[len_g];
	if(f[x_max_pos]>=g[y_max_pos]  ||  f[x_min_pos]>=g[y_min_pos]){
		return false;
	}
	else{
		return check1(x_min_pos,y_max_pos)  &&  check2(x_min_pos,y_max_pos);
	}
}
void solve(){
	len_f=n;
	for(int i=1;i<=len_f;i++){
		f[i]=x[i];
	}
	len_g=m;
	for(int i=1;i<=len_g;i++){
		g[i]=y[i];
	}
	if(check()){
		printf("1");
		return ;
	}
	len_f=m;
	for(int i=1;i<=len_f;i++){
		f[i]=y[i];
	}
	len_g=n;
	for(int i=1;i<=len_g;i++){
		g[i]=x[i];
	}
	if(check()){
		printf("1");
		return ;
	}
	printf("0");
}
int main(){
	scanf("%d %d %d %d",&c,&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d",&y[i]);
	}
	solve();
	while(q--){
		int kx,ky;
		scanf("%d %d",&kx,&ky);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			x_tmp[i]=x[i];
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			y_tmp[i]=y[i];
		}
		while(kx--){
			int p,v;
			scanf("%d %d",&p,&v);
			x[p]=v;
		}
		while(ky--){
			int p,v;
			scanf("%d %d",&p,&v);
			y[p]=v;
		}
		solve();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			x[i]=x_tmp[i];
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			y[i]=y_tmp[i];
		}
	}
	return 0;
}