P6782 [Ynoi2008] rplexq 题解 / 根号分治

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本文默认 \(n,m\) 同阶。

设 \(f_{u,l,r}\) 表示以 \(u\) 为根的子树其中编号为 \([l,r]\) 的个数。

那么本题答案可以转化为 \(\frac{f_{x,l,r}(f_{x,l,r}-1)-sum_{v\in son_x} f_{v,l,r}(f_{v,l,r}-1)}{2}\)。

考虑根号分治。

如果 \(x\) 的子树个数小于 \(\sqrt n\)，我们可以把询问挂到 \(x\) 上，在 dfs 的时候求出 \(f_{u,l,r}\)，但是有 \(n\sqrt n\) 个查询，老哥显然倒闭，但是由于点数很少，利用分块平衡复杂度。

为了线性空间，我们可以在 dfs \(u\) 之前把 \([l,r]\) 答案计算好，然后再算出加入 \(u\) 的子树的答案，用后者减前者即可，这样只需要一个分块解决。

如果 \(x\) 的子树个数大于 \(\sqrt n\)，先将 \(f_{x,l,r}\) 按照前面方法一起处理，然后容易发现这样的 \(x\) 最多只有 \(\sqrt n\) 个，可以暴力枚举 \(x\) 以及它的儿子节点，将每个儿子节点的子树染色，参考小 B 的询问，莫队随便做。

但是这样我们莫队的总结点数非常多，倒闭了，我们需要找到一个子树总和在 \(O(n)\) 量级的方法。

我们发现，如果把 \(\sqrt n\) 个重儿子按照前面的方法做，那么剩下轻儿子的量级就是 \(O(n)\)，做完了。

最后复杂度 \(O(n\sqrt n)\)，但是我们发现后面莫队很难卡满，但是二维数点部分跑满了，因此可以适当降低阀值来卡常。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,m,rt,B1,B2,du[N],anss[N],fa[N],sz[N];
vector<int>a[N];
inline bool cmp(int x,int y){
	return sz[x]>sz[y]; 
}
inline int read(){
	char c=getchar();
	int f=1,ans=0;
	while(c<48||c>57) f=(c==45?f=-1:1),c=getchar();
	while(c>=48&&c<=57) ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(c^48),c=getchar();
	return ans*f;
}
void print(int x){
	if (x>9) print(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
void dfssz(int u,int fa){
	sz[u]=1;::fa[u]=fa;
	for (auto v:a[u]) if (v^fa) dfssz(v,u),sz[u]+=sz[v];
} 
int L[N],R[N],w[N],add[N],bl[N],len,tot;
struct node{
	int l,r,id;
	bool operator <(const node &x) const{
		int a=l/len,b=x.l/len;
		if (a^b) return a<b;
		else if (a&1) return r<x.r;
		return r>x.r;
	}
};
vector<node>b[N];
inline void build(){
	len=sqrt(n);
	tot=n/len;
	if (n%len) tot++;
	for (int i=1;i<=n;i++) bl[i]=(i-1)/len+1;
	for (int i=1;i<=tot;i++) L[i]=(i-1)*len+1,R[i]=i*len;
	R[tot]=n;
}
inline void change(int l,int r,int x){
	if (bl[l]==bl[r]){
		for (int i=l;i<=r;i++) w[i]+=x;
		return ;
	}
	for (int i=l;i<=R[bl[l]];i++) w[i]+=x;
	for (int i=bl[l]+1;i<=bl[r];i++) add[i]+=x;
}
int anss1[N],anss2[N],c[N],cnt[N],d[N];
vector<int>e;
void dfs1(int u,int xx){
	c[u]=xx;
	for (auto v:a[u]) dfs1(v,xx);
}
int Ans;
inline void ins(int x){
	Ans-=cnt[x]*(cnt[x]-1);
	cnt[x]++;
	Ans+=cnt[x]*(cnt[x]-1);
}
inline void del(int x){
	Ans-=cnt[x]*(cnt[x]-1);
	cnt[x]--;
	Ans+=cnt[x]*(cnt[x]-1);
}
void dfs(int u){
	if (du[u]<=B1){
		for (auto i:b[u]){
			int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
			anss1[id]=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]];
		}
		change(u,n,1);
		for (auto v:a[u]){
			for (auto i:b[u]){
				int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
				anss2[id]=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]];
			}
			dfs(v);
			for (auto i:b[u]){
				int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
				int x=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]]-anss2[id];
				anss[id]-=x*(x-1);
			}
		}
		for (auto i:b[u]){
			int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
			int x=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]]-anss1[id];
			anss[id]+=x*(x-1);
		}
	}
	else{
		for (auto i:b[u]){
			int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
			anss1[id]=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]];
		}
		change(u,n,1);
		for (int i=0;i<min(B2,du[u]);i++){
			int v=a[u][i];
			for (auto i:b[u]){
				int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
				anss2[id]=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]];
			}
			dfs(v);
			for (auto i:b[u]){
				int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
				int x=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]]-anss2[id];
				anss[id]-=x*(x-1);
			}
		}
		for (int i=B2;i<du[u];i++) dfs(a[u][i]);
		for (auto i:b[u]){
			int l=i.l,r=i.r,id=i.id;
			int x=w[r]+add[bl[r]]-w[l-1]-add[bl[l-1]]-anss1[id];
			anss[id]+=x*(x-1);
		}
		Ans=0;
		int Cnt=0;
		for (int i=B2;i<du[u];i++) dfs1(a[u][i],++Cnt);
		for (int i=1;i<=n;i++) if (c[i]) e.push_back(i);
		Cnt=0;
		for (auto i:e) d[++Cnt]=c[i];
		int i=0,j=1;Ans=0;
		sort(b[u].begin(),b[u].end());
		for (auto k:b[u]){
			int l=k.l,r=k.r,id=k.id;
			l=lower_bound(e.begin(),e.end(),l)-e.begin()+1;
			r=upper_bound(e.begin(),e.end(),r)-e.begin();
			if (l>r) continue;
			while(i<r) ins(d[++i]);
			while(i>r) del(d[i--]);
			while(j<l) del(d[j++]);
			while(j>l) ins(d[--j]);
			anss[id]-=Ans;
		}
		for (int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=c[i]=d[i]=0;
		e.clear();
	}
}
main(){
	n=read(),m=read(),rt=read();
//	B1=B2=sqrt(n);
	B1=300,B2=20;
	for (int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read();
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
	}
	dfssz(rt,0);
	for (int i=1;i<=n;i++) sort(a[i].begin(),a[i].end(),cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		vector<int>tmp;
		for (auto v:a[i]) if (v^fa[i]) tmp.push_back(v);
		a[i]=tmp; 
		du[i]=a[i].size();
	}
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int l=read(),r=read(),x=read();
		b[x].push_back({l,r,i}); 
	}
	build(),dfs(rt);
	for (int i=1;i<=m;i++) print(anss[i]>>1),putchar(10);
    return 0;
}