斜率优化
斜率优化
斜率优化是指对一些特殊的动态规划问题进行的优化（废话），数形结合，通过状态建点，利用其斜率的特性，在短时间求出最佳决策的算法。
方法是通过方程推出一个形似\(\frac{g_j-g_k}{g'_j-g'_k}<K_i\)的不等式
话不多说，从例题入手
BZOJ1096 [ZJOI2007]仓库建设 是一道入门题
设子状态\(f_i\)为在工厂\(i\)建立仓库时\(1\)到\(i\)的花费总和
显然,\(f_i=min\{f_j+\sum_{k=1}^{j}P_k\times (X_i-X_j)+\sum_{k=j+1}^{i}{P_k\times(X_i-X_k)}+C_i\}\)
可以据此写出代码：
for(int i=1;i<=n;i++)
sp[i]=sp[i-1]+P[i],s[i]=s[i-1]+sp[i-1]*(X[i]-X[i-1]);
for(int i=1;i<=n;i++){
F[i]=INF;
for(int j=0;j<i;j++){
F[i]=min(F[i],F[j]+(s[i]-s[j]-sp[j]*(X[i]-X[j]))+C[i]);
}
}
复杂度为\(O(n^2)\)，对于\(N≤1000000\)的数据显然是过不了的
可以发现，为了得到子状态\(f_i\)，共进行了\(i\)次转移，但是实际有效的只有一次
如何可以在\(O(1)\)或\(O(\log_2n)\)的复杂度内找出最佳决策呢？
斜率优化！
对于转移方程\(f_i=f_j+(s_i-s_j-sp_j\times(X_i-X_j))+C_i;\)
我们取出两个子状态\(f_i\)和\(f_k\)，假设从\(f_j\)转移到\(f_i\)比从\(f_j\)转移到\(f_k\)要更优
\(\therefore f_j+(s_i-s_j-sp_j\times(X_i-X_j))+C_i<F_k+(s_i-s_k-sp_k\times(X_i-X_k))+C_i\)
\(\therefore f_j-s_j-sp_j\times X_i+sp_j\times X_j<f_k-s_k-sp_k\times X_i+sp_k\times X_k\)
\(\therefore f_j-s_j+sp_j\times X_j-f_k+s_k-sp_k\times X_k<sp_j\times X_i-sp_k\times X_i\)
令\(g_i=f_j-s_j+sp_j\times X_j\)，
\(\therefore g_j-g_k<(sp_j-sp_k)\times X_i\)
不妨令\(sp_j<sp_k\)，
\(\therefore\frac{g_i-g_k}{sp_j-sp_k}<X_i\)
仔细观察，发现这很像一个斜率的表达式
在平面中建点\(A_j(sp_j,g_j)\)，\(A_k(sp_k,g_k)\)，连接\(A_jA_k\)，
问题就可以转换为：
对于子状态\(f_i\)和\(f_k\)，
从\(f_j\)转移到\(f_i\)比从\(f_j\)转移到\(f_k\)要更优\(\Leftarrow\Rightarrow\)\(A_jA_k\)的斜率小于\(X_i\)
那么，当平面中有多个点时又如何呢？
如图，有点\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(BC\)斜率小于\(AB\)斜率
如果\(AB\)斜率大于等于\(X_i\)，则\(A\)比\(B\)优
如果\(AB\)斜率小于\(X_i\)，则\(BC\)斜率一定小于\(X_i\)，则\(C\)比\(B\)优
综上，出现如图情况时，\(B\)一定不是最优
所以显然，在平面中有多个点时，只有下凸壳（如果方程求的是最大值则为上凸壳）的点才是有用的点
此时，我们发现，点之间的斜率是单调递增的，
这。。。不就是个单调队列/栈吗！
再看，\(X_i\)是递增的，所以最佳状态在单调队列/栈里的位置也是递增的。
所以就是单调队列了。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define int long long
#define maxn 1000000
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
void read(int &x){
int f=1;x=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
x*=f;
}
int X[maxn+5],P[maxn+5],C[maxn+5];
int F[maxn+5],s[maxn+5],sp[maxn+5];
struct vec{ //。。之前写凸包时用的结构体名是vec，现在就继续沿用了
int i,x,y;
vec(){i=x=y=0;}
vec(int x,int y){i=0,this->x=x,this->y=y;}
friend vec operator-(vec a,vec b){return vec(a.x-b.x,a.y-b.y);}
friend bool operator<(vec a,vec b){return (double)a.y/a.x<(double)b.y/b.x);}
} q[maxn+5];
int head=1,tail=0;
void push(vec x){
while((tail-head+1)>1&&(x-q[tail-1])<(q[tail]-q[tail-1])) tail--; //x和队尾上一个的斜率小于队尾和队尾上一个的斜率时，弹出队尾
q[++tail]=x;
}
void pop(int k){
while((tail-head+1)>1&&(q[head+1]-q[head])<vec(1,k)) head++;//弹出斜率比k小的斜率
}
#undef int
int main(){
#define int long long
int n;read(n);
for(int i=1;i<=n;i++) read(X[i]),read(P[i]),read(C[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
sp[i]=sp[i-1]+P[i],s[i]=s[i-1]+sp[i-1]*(X[i]-X[i-1]);
push(vec(0,0));
for(int i=1;i<=n;i++){
pop(X[i]);
int j=q[head].i;
F[i]=F[j]+(s[i]-s[j]-sp[j]*(X[i]-X[j]))+C[i];
vec x(sp[i],F[i]-s[i]+sp[i]*X[i]);x.i=i;
push(x);
}
printf("%lld\n",F[n]);
}
ANOTHER CASE
那么，如果\(X_i\)不是递增的呢？
此时，显然不能靠移动单调队列队头来得到最佳状态了，只好将其改成了一个二分搜索（两点间斜率为值）搜索满足\(A_{j-1}A_j\)的斜率\(<K_i(X_i)\)的最大的\(j\)了。
例题：（突然找不到了，到时候再补）
ELSE IF…
如果\(sp_i(g'_i)\)不是递增的呢？…请看下篇——CDQ分治套斜率优化
