同余复习笔记？

同余复习笔记？

扩展欧几里得

用于在 \(a\) , \(b\) 已知的情况下求出一组 \(x\) , \(y\) 的任意解满足: ax+by=c

根据裴蜀定理，此方程有解的充要条件为 \(gcd(a,b)|c\)

于是我们可以将 ax+by=c 简化为 ax+by=gcd(a,b) 前面方程的解不过是后面方程的解扩大整数倍。

求解过程：

\[\\ ax+by=gcd(a,b) \\ gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \\ 可以得出：bx'+(a\%b)∗y'=gcd(b,a\%b) \\ 又因为:a\%b = a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor *b \\ 所以：a*y'+b*(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*y') = gcd(a,b) \\ 所以原方程中的一组任意解为： \begin{cases} x=y' \\ y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor *y' \end{cases} \]

递归求解即可

inline void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return;}//其实这个时候y可以为任意数。(因为y前的系数b=0)
    Exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
    return;
}

扩展欧几里得求逆元

即 \(a*inv[a]=1 (mod \ m)\)

用扩展欧几里得求逆元的前提是 \(a,m\) 互质

原方程可以化简为：

\(a*inv[a] + my = 1\)

因为 \(a,m\) 互质，所以原式可以变为：

\(a*inv[a] + my = gcd(a,m)\)

就是上面的式子。

注意，此时求出的逆元很有可能为负，需要 (x+m)%m 强制变为正。

为什么此时求出的就是逆元呢？

移项一下：

\(a*inv[a] = 1-my\)

即 \(a*inv[a] = 1(mod \ m)\)

得证。

中国剩余定理：(CRT)

求解形如

\[\begin{cases} x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\ x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\ x \equiv a_3 (mod \ m_3) \\ ... \\ ... \\ x \equiv a_k (mod \ m_k) \\ \end{cases} \]

其中 \(m_i\) 互质，求出最小的满足上述条件的 \(x\)

令一个 \(M=\prod _{i=1} ^{k} m_i \ \ M_i=\frac{M}{m_i}\)

\(t_i\) 为 \(M_i\) 在 \(mod \ m_i\) 意义下的逆元，即\(M_i*t_i\equiv1(mod \ m_i)\)

所以 \(M_i\) 与 \(m_i\) 也互质。

那么：一个解 \(ans = \Sigma_{i=1}^{k} (a_i*M_i*t_i)\)

证明：

对于任意的 \(j \neq i\)

\(m_i | M_j\) 所以 \(a_j*M_j*t_j =0(mod \ m_i)\)

而因为 \(M_i*t_i \equiv 1(mod \ m_i)\)

所以 \(a_i*M_i*t_i=a_i(mod \ m_i)\)

对于任意的 \(i\) 上述证明都是成立的，由此当前得到的解 \(ans\) 是满足上面的式子的。

而最小解则为 \(ans \ \% \ M\)

(上面有很多步，不同步的模数是不同的，比如 \(t_i\) 是 \(m_i\) 在 \(mod \ m_i\) 意义下的逆元，而最后需要 \(\%\) 的是 \(M\))

inline void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return;}
    Exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
    return;
}
int n;
ll a[N],m[N],M[N],mul=1,inv[N],tmp,ans;
int main(){
    read(n);
    for(register int i=1;i<=n;++i)  read(m[i]),read(a[i]),mul*=m[i];
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        tmp=0;M[i]=mul/m[i];Exgcd(M[i],m[i],inv[i],tmp);
        inv[i]=(inv[i]+m[i])%m[i];//此时的inv是在%m[i]意义下的，所以强制为正+的也为m[i]
        ans+=((a[i]*inv[i])%mul*M[i])%mul;//其实可以不加这里的取模的根据上面推的式子。
    }
    print(ans%mul);
    return 0;
}

持续咕咕咕。