KDT学习笔记

KDT处理的一些问题：给你一个 \(k\) 维空间，\(n\) 个点，每次查询一个超矩形，求这个超矩形里面包含的点的信息，以下默认 \(k=2\)。

建树

重复以下流程：

• 轮流选择 \(k\) 维作为划分依据。
• 选择第 \(k\) 维里的中位数作为根。

求中位数的过程是 \(O(n)\) 的，每次划分数据规模都会 \(/2\)，所以建树总时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

查询

KDT的重点。

如果查询的超矩形和当前划分出的超矩形无交，那么直接返回。

如果查询的超矩形包含当前划分出的超矩形，直接返回矩形信息。

如果查询的超矩形部分包含当前划分出的超矩形，我们考虑超矩形的一条边，这条边最多只能穿过当前划分出的超矩形的两个孙子节点，另外的两个要么被包含，要么不交。

根据这个可以写出：\(T(n)=2(\frac T4)+O(1)\) ，总时间复杂度就是 \(O(\sqrt n)\)。

插入

我们发现KDT查询的时间复杂度依赖于严格 \(\log n\) 的树高，这使得我们不能使用类似treap的期望 \(O(\log n)\) 或者类 \(O(\log n)\) 去做。

我们有两个方法维护。

1.定期重构

由于建树是 \(O(n\log n)\) 的，我们可以每 \(B\) 次插入重构一遍，查询复杂度 \(O(\sqrt n +B)\) ，插入复杂度 \(O(\frac{n\log n} B)\) 。

\(n,q\) 同阶时 \(B\) 取 \(\sqrt{n\log n}\) 最优，此时查询插入时间复杂度均为 \(O(\sqrt{n\log n})\) 。

2.二进制分组

KDT合并的时间复杂度为 \(O(n\log n)\) ，考虑维护 \(2\) 的整数次幂棵KDT，若出现两个相同大小的KDT就将其合并，插入的总时间复杂度为 \(O(n\log^2 n)\) 的，查询的时间复杂度\(O(∑_{𝑖≥0}\sqrt{\frac n{2^i}}) =O(\sqrt n)\) 。