虚树学习笔记

有些题目会查询一些树上的点，这些点的总数是确定的，我们希望单次查询与给出点的数量有关，这样整个算法的总时间复杂度就有保证了。但查询的信息可能与这些点形成的结构有关，所以我们不得不在原树上进行……吗？

我们可以依托于这些给出的点，建出一些仅依托于这些点的小树，而且这颗小树的节点个数与给出点的总数是同级的，于是我们便可以通过这颗小树的结构关系得出答案，我们称这颗小树为虚树。

建立虚树的两种方法：

1.二次排序

1. 先把给出的点按 \(dfs\) 序排序，把相邻两个点的lca加入进点集。
2. 去重，再排序一边，把 \(lca_{x_{i-1},x_i}\) 向 \(x_i\) 连边。

由于已经按dfs序排序了，所以 \(lca_{x_{i-1},x_i}\) 一定是 \(x_i\) 深度最浅的祖先。

2.dfs序单调栈

依旧先按dfs序排序，把节点 \(u\) 入栈的时候。

判断栈顶是否是 \(u\) 的祖先，如果不是那么记录栈顶和 \(u\) 的lca，弹出栈顶。

如果当前栈顶不是这个lca，连栈顶和lca的边，将lca入栈。

加入当前点，连连栈顶和 \(u\) 的边。

然后虚树就建完了，不难发现和二次排序本质相同。