如何感性理解阶的一些性质

以下 \(p\) 均为 \(>2\) 的质数。

\(ord_p(a)\) 表示最小的正整数 \(k\) 使得 \(a^k\equiv 1(\bmod p)\)，因为肯定有 \(a^{p-1}\equiv 1\)，那么不妨枚举 \(p-1\) 的所有质因子，初始 \(now=p-1\)，每次试除 \(\frac{now}{v}\)，用快速幂检查是否合法。预处理出 \(p-1\) 的质因子后时间复杂度为 \(O(\log^2 p)\)。

取 \(p\) 的一个原根 \(g\)，\(\log_g a\) 表示模 \(p\) 意义下 \(a=g^{\log_g a}\)，给出结论：

\[ord_p(a)=\frac{p-1}{(p-1,\log_g a)} \]

令 \(\log_g a=t\)，则有 \(g^t=a\)，又 \(g^{p-1}=1\)，因此一定是 \(g^{k(p-1)}=1\) 且 \(t|k(p-1)\)，因为要取最小的 \(t\) 所以要取最小的 \(k\)，即 \(t=\frac{p-1}{(p-1,\log_g a)}\)，也就是 \(ord_p(a)\) 的值。