NOI2026 Day2 题解

在场。总结单列了。

T1

套路地二分 \(mid\)，记 \(b_i=[a_i\ge mid]\)，\(O(nk\log^2 n)\) 的 dp 是显然的，那么交换值和下标即可做到 \(O(nk^2\log n)\)，但可惜做不动了。

但是这样很浪费。观察一下 \(1\) 的数量，肯定至少要有 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 个 \(1\)，但 \(1\) 的数量足够也不一定满足条件，因为 \(t\) 个 \(1\) 意味着有 \(t+1\) 段 \(0\)。我们希望有形如 10 的东西。

对于 \(k\) 为偶数的情况，删除一段即可，找最小间距的 \(1\)，判断能不能构成类似 ...|10|01|... 的结构，即距离 \(\le 3\)，或者有 \(1\) 在边界，或者 10 在边界。

对于 \(k\) 为奇数的情况，要删除两段。和上面类似，但是要注意 1001001 不能删除两段，而 100101 可以，其它都是两段相离的情况，容易处理。

不过段数太少了这样讨论会有点问题，在 \(k\le K=5\) 的时候拼上暴力 dp 即可。时间复杂度 \(O(nK^2\log n)\)。

T2

先研究 prufer 序列的还原方式：维护一个集合，每次将最小的取出来匹配，如果 prufer 序列上的数是最后一次出现就加进集合。

考虑判断是否有 \(fa_x=y\)：找到 \(x\) 最后一次出现的位置，设其匹配了位置 \(p\)，令 \(C(p,x)\) 表示经过位置 \([1,p]\) 还有多少个在 \([1,x]\) 中的数没有出现过，那么应当有形如（可能有点小问题） \(C(p-1,x-1)\le p-1\) 的式子，观察这个式子，当 \(p\) 增大，左边每次变化量 \(0\) 或者 \(1\)，右边一定增加 \(1\)，那么取到的一定是一个区间，树套树即可维护。但直接做是 \(O(n\log^3 n)\) 的，改成树状数组/线段树上二分即可。时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

T3

咕咕咕。