QOJ#9776. Best Friend, Worst Enemy 题解

QOJ#9776. Best Friend, Worst Enemy 题解

题意：动态加点，每次求出 \((i,j)\) 的对数，使得 \(j\) 在曼哈顿距离上离 \(i\) 最远，在切比雪夫距离上最近。可以并列。\(n\le 4\times 10^5,V\le 10^7\)。

观察性质：如果 \((i,j)\) 能成为答案，那么由于曼哈顿距离<=2*切比雪夫距离，那么最大曼哈顿距离一定不能超过最小切比雪夫距离的两倍。

先对一个状态算答案。令最远的曼哈顿距离为 \(L\)，那么把平面分成若干个网格，每个网格都是 \(\frac{L}{4}\times \frac{L}{4}\)。由于存在一对曼哈顿距离为 \(L\) 的点，对于每个点 \(i\) 一定存在一个点和它的曼哈顿距离 \(\ge \frac{L}{2}\)，即切比雪夫距离 \(\ge \frac{L}{4}\)，也就是说每个网格中最多有一个点可能成为 \(i\)，而网格个数显然为常数。

考虑加点，在 \(L\) 翻倍时重构网格，那么至多重构 \(O(\log V)\) 次，每次可能贡献的点都只有 \(O(1)\) 个，那么得到一个重要结论：可能进入过“可能成为 \(i\) 的点集”的点只有 \(O(\log V)\) 个。

实现时，先计算 \(i\) 最大曼哈顿距离和最小切比雪夫距离，合法的话加入“可能成为 \(i\) 的点集”，然后对于点集中每个数都计算一下它和 \(i\) 的贡献。最大曼哈顿距离直接枚举如何拆开绝对值即可，最小切比雪夫距离可以考虑一个暴力：\(j=i-1\to 1\)，每次都和 \(j\) 计算，如果不合法则结束，否则继续。考虑划分网格的时候，因为最大曼哈顿距离 \(\ge \frac{L}{2}\)，那么最小切比雪夫距离 \(\ge \frac{L}{4}\)，也就是说扫到和 \(i\) 同一个网格的 \(j\) 时就会停止，那么每个网格单独分析均摊为 \(O(n)\)，而网格只会翻倍 \(O(\log V)\) 次，则时间复杂度为 \(O(n\log V)\)。