一篇读懂Python中的位运算

目录

• 什么是位运算？
• 用到的基础知识
  • 问题来了：计算机内部是如何用二进制表示整数的
  • 原码
  • 反码
  • 补码
  • 原、反、补码小结
  • 单、双、三目运算
• Python中的按位运算
  • 按位与 &
  • 按位或 |
  • 按位异或 ^
  • 按位取反 ~
  • 按位左移 <<
  • 按位右移 >>
• 位运算的应用

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什么是位运算？

简单来说，位运算是把数字转换为机器语言，也就是二进制来进行计算的一种运算形式。
在古老的微处理上，位运算比加减运算略快，要比乘除运算快的多。虽然现在随着技术的迭代，新的架构在推陈出新，位运算与加减法相差无几，但是仍然快于乘除运算。为什么这么说呢？因为位运算符直接处理每一个比特位（bit），这么底层的运算，当然快了！但是缺点也很明显，理解起来稍显复杂，不够直观。这在许多的场合都不使用它们， 因为它会增加代码难度和排错！不利于粘贴和复制（纯属扯淡！）。
首先，我们要明白一点，位运算符之对整数起作用，如果一个操作数（如浮点数）不是整数，那它首先会自动转换为整数后再执行。另外Python语言参考中也强烈表示只能是整数！

我想，你可能要试试看：

>>> c = 1.2
>>> d = 3.5
>>> c | d
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: unsupported operand type(s) for |: 'float' and 'float'

要想玩明白位运算，我们要回顾一些基础知识。

用到的基础知识

问题来了：计算机内部是如何用二进制表示整数的

让我们思考一个问题，计算机内部是如何用二进制表示这些整数的？计算机内用定点数表示的。那问题又来了，什么是定点数？
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码。
问题一个接着一个，原码、反码、补码又是什么鬼东西？

原码

原码(true form)是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1（0有两种表示：+0和-0），其余位表示数值的大小。
口诀在此：一个正数，转换为二进制位就是这个正数的原码。负数的绝对值转换成二进制位然后在高位补1就是这个负数的原码。
比如说int类型的3的原码是11B（B表示二进制位，这里你可以多了解一些进制之间的转换），在32为机器上占4个字节，所以，高位补0就是：

00000000 00000000 00000000 00000011	# 一个字节8个bit位

那么int类型的-3的绝对值的二进制位就是11B展开后最高位补1就是：

10000000 00000000 00000000 00000011

但是呢，原码也有缺点，原码中的0分为+0和-0。不仅如此，在进行不同符号的加法运算或者同符号的减法运算时，不能直接判断出结果的正负，我们必须要将两个值的绝对值进行比较。然后再进行加减操作。最后符号由绝对值大的决定，于是乎，下面有请反码登场。

反码

反码是数值存储的一种，多应用于系统环境设置，如linux平台的目录和文件的默认权限的设置umask，就是使用反码原理。
口诀不能忘：正数的反码就是原码，负数的反码等于原码除符号位以外所有位取反。
比如还是刚才的那个int类型的3的反码是：

00000000 00000000 00000000 00000011	 # 正数的反码就是原码，这么写没毛病

那int类型的-3的反码是，让我们默念公式：负数的反码等于原码除符号位以外所有位取反！

10000000 00000000 00000000 00000011	 # -3的原码
11111111 11111111 11111111 11111100	 # 最高位为符号位，不变，其余取反

这样，反码解决了加减法运算问题（不理解就自己再查吧），我们就该着手处理+0和-0的问题了，有请补码上台领奖！

补码

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路支持。
记住口诀：正数的补码与原码相同，负数的补码为其原码除符号位外所有位取反（这就是反码了），然后最低位加1。
还是那个int类型的3的补码是：

00000000 00000000 00000000 00000011	 # 正数的补码与原码一致

那么int类型的-3的补码就是，让我们手掐口诀：

10000000 00000000 00000000 00000011  # -3的原码
11111111 11111111 11111111 11111100	 # 负数的补码为其原码除符号位外所有位取反
11111111 11111111 11111111 11111101  # 然后最低位加1，完美！

原、反、补码小结

原、反、补码小结：

• 正数的反码和补码都与原码相同
• 负数的反码为该数的原码除符号位外所有位取反
• 负数的补码为该数的原码除符号位外所有位取反，然后最低位加1

优缺点：

• 原码最好理解，但是存在加减法运算不方便的问题，还有俩零蛋捣乱
• 反码稍微难点，但仅解决了加减法的问题。俩零继续捣乱
• 补码理解相对困难，但解决了上面的俩问题

单、双、三目运算

根据操作数的个数，运算符可以分为单目、双目、三目运算符，也称为一元、二元、三元运算符等。若完成一个操作需要两个操作数，则称该运算符为双目运算符；若完成一个操作需要一个操作数，则称该运算符为单目运算符。

Python中的按位运算

我们在之前的原、反、补码中了解了基本的数值存储。那么这里就开始具体的学习Python中按位是怎么运算的，首先来看规则。Python中的按位运算规则如下表所示：

运算符	描述
&	按位运算符，参与运算的两个值，如果相应位都为1，则该位的结果为1，否则为0
^	按位异或运算符，当两个对应的二进位相异时，结果为1
~	按位取反运算符，对数据的每个二进制位取反，即把1变为0，把0变为1
|	按位或运算，只要对应两个二进制位有一个为1时，结果就为1
<<	左移动运算符：运算数的各二进制位全部左移若干位，由 << 右边的数字指定了移动的位数，高位丢弃，低位补0
>>	右移动运算符：把>>左边的运算数的各二进制位全部右移若干位，>> 右边的数字指定了移动的位数

在Python的按位运算符中，只有反转~运算符是单目运算，其余都是双目运算。

按位与 &

按位与的规则是：参与运算的两个值，如果相应位都为1，则该位的结果为1，否则为0，也就是说：

• 1 & 1 = 1
• 1 & 0 = 0
• 0 & 1 = 0
• 0 & 0 = 0

我们首先来看一个示例：

>>> 3 & 5
1

分析，我们首先来看它们各自的补码，我们接下来的演示只用一个字节8位表示就行，32位太长了（搞起来难受）：

0000 0011  # 3的补码
0000 0101  # 5的补码
0000 0001  # 根据按位与的规则，得出补码结果

得出的结果是补码类型的， 我们要先把补码转换为原码，再将二进制转换为十进制的结果。正数的补码等于原码，所以结果就是1。
再来个示例：

>>> -2 & -3
-4

老套路，先找各自的补码，再求结果：

1111 1110	# -2的补码
1111 1101	# -3的补码
1111 1100	# 结果

我们将补码转换为原码，默念口诀：补码转原码，符号位不变，数值为按位取反，末位加1：

1111 1100	# 补码
1000 0011	# 符号位不变，数值位按位取反
1000 0100	# 末位加1

想着最高位的符号位为负，二进制100对应的十进制是4，最终结果就是-4。
再来个例子：

>>> -2 & 3
2

老套路，拿到它们各自的补码，再求结果：

1111 1110	 # -2的补码
0000 0011	 # 3的补码
0000 0010	 # 结果

找到对应的十进制是2。
小结：在按位与的结果中，只有是负数的情况下，才需要将补码转换为原码，然后再求对应的十进制数。

按位或 |

先把口诀放这里：按位或运算，只要对应两个二进制位有一个为1时，结果就为1。也就是说：

• 1 | 1 = 1
• 1 | 0 = 1
• 0 | 1 = 1
• 0 | 0 = 0

再把例子拿过来：

>>> 3 | 5
7

拿到补码：

0000 0011 	# 3的补码
0000 0101	# 5的补码
0000 0111	# 结果

二进制的111转为十进制是7。
再来个例子：

>>> -2 | -3
-1

各自的补码是：

1111 1110	 # -2的补码
1111 1101	 # -3的补码
1111 1111	 # 结果

拿到了结果，我们还需要将补码转换为原码再转10进制：

1111 1111	# 结果
1000 0000	# 高位不变，其余取反
1000 0001	# 末位加1

最高位的是负号，最终的结果是-1。
再来个例子：

>>> -2 | 3
-1

老套路，拿到它们各自的补码，再求结果：

1111 1110	# -2的补码
0000 0011	# 3的补码
1111 1111	# 结果

继续补码转原码再转十进制：

1111 1111	# 结果
1000 0000	# 高位不变，其余取反
1000 0001	# 末位加1

最高位为负号，找到对应的十进制是-1。

按位异或 ^

先把规则列出来：按位异或运算符，当两个对应的二进位相异时，结果为1，也就是说：

• 1 ^ 1 = 0
• 1 ^ 0 = 1
• 0 ^ 1 = 1
• 0 ^ 0 = 0

再把例子拿过来：

>>> 3 ^ 5
6

拿到补码：

0000 0011 	# 3的补码
0000 0101	# 5的补码
0000 0110	# 结果，注意按照规则来

正整数的结果一目了然，二进制的110转为十进制是6。
再来个例子：

>>> -2 ^ -3
3

各自的补码是：

1111 1110	# -2的补码
1111 1101	# -3的补码
0000 0011	# 结果

首先来看011对应的十进制是3，所以最终结果是3。
再来个例子：

>>> -2 ^ 3
-3

老套路，拿到它们各自的补码，再求结果：

1111 1110	# -2的补码
0000 0011	# 3的补码
1111 1101	# 结果

结果是负数，只能将补码转原码再转10进制了：

1111 1101	# 结果
1000 0010	# 高位不变，其余取反
1000 0101	# 末位加1

最高位为负号，二进制的101是3， 所以对应的十进制是-3。
最后，来总结一下异或特点，0异或任何数得这个数（0异或0得0），一个数与自己异或时结果为0：

>>> 0 ^ 0
0
>>> 0 ^ 3
3
>>> 0 ^ -3
-3
>>> 3 ^ 3
0

按位取反 ~

首先来说，按位取反是单目运算。所以，别上来就：

>>> 2 ~ 3
  File "<stdin>", line 1
    2 ~ 3
      ^
SyntaxError: invalid syntax

显得可low了，一点都不！专！业！！！

书归正传，先把规则列出来：按位取反运算符，对数据的每个二进制位取反，即把1变为0，把0变为1。
来个例子：

>>> ~ 3
-4

拿到-3的补码：

0000 0011 	# 3的补码

按每个二进制位取反：

1111 1100	# 结果是负数，还要转为原码
1000 0011	# 高位不变，其余取反
1000 0100	# 末位加一

别忘了最高位的负号，二进制的100转为十进制是-4。
再来个例子：

>>> ~ -2
1

-2的补码是：

1111 1110	 # -2的补码

按位取反：

0000 0001

得到的结果一目了然，是1。

按位左移 <<

先把规则列出来：左移动运算符，运算数的各二进制位全部左移若干位，而 << 右边的数字指定了移动的位数，高位丢弃，低位补0
来个示例：

>>> 2 << 3
16

先拿到2的补码：

0000 0010	# 2的补码

整体（这里也就是1）开始往左移动，移动的位数是3位，所以得的移动结果：

0001 0000

最终的十进制结果是16。

按位右移 >>

先把规则列出来：右移动运算符，把>>左边的运算数的各二进制位全部右移若干位，>> 右边的数字指定了移动的位数
来个示例：

>>> 2 >> 3
0

先拿到2的补码：

0000 0010	# 2的补码

从1（从右往左数，第二位）开始往右移动，移动的位数是3位，所以得的移动结果：

0000 0000  

移动到第3位时，把1就移没了，剩下全是0最终的十进制结果是0。

位运算的应用

• 异或用来做加密混淆，比如JavaScript为了防止源码被盗，除了美化、压缩就是可以做混淆。包括C中可以做加密算法。
• 按位与和按位或可以做矩阵、跑马灯。IOS中可以用来控制按钮的操作。
• 可以制定不同的规则，来通过一串二进制就可以表示不同的状态信息，比如一串32位的二级制位，就可以有表现32个状态信息。

随便举几个示例

• 示例1：来自leetcode中的一个题。题目是给定一个非空的数组，除了一个元素外，其余的元素都会出现两次，找到这个仅出现一次的元素。注意：你的算法应具有线性运行时的复杂性O（n），如果不能有额外的内存开销更好。我们的老套路是：

def f1():
    l1 = [1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5]
    s1 = ''.join([str(i) for i in l1])
    for i in s1:
        if s1.count(i) == 1:
            return i

我们可以用异或的特点（0异或任何数得这个数，一个数与自己异或时结果为0）来帮助我们解决这个问题：

def f2():
    l1 = [1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 6, 8, 8]
    temp = 0
    for i in l1:
        temp ^= i
        print(i, temp)
    return temp

• 示例2，还是leetcode中的题。给定一个整数，求出该数的二进制数中有多少个1，这里我们可以使用字符串的count来解决该问题：

print('00000000000000000000000000001011'.count('1'))
print(bin(10), bin(10).count('1'))

除此之外，我们也可以使用按位右移和按位与也可以完成该需求，我们只需要将该数不断地右移，然后和1按位与，直到这个数为0即可：

def f1(n):
    temp = 0
    for i in bin(n):  # 10的二进制是1010
        print(n & 1)
        temp += n & 1
        n = n >> 1
    return temp
print(f1(10))  # 2

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see also：

Python语言中的按位运算 | 原码、反码、补码和移码 | 来自JavaScript的二进制位运算符 | LeetCode解题中位运算的运用 | leetcode | 计算机中原码，反码，补码之间的关系
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