AtCoder ARC076 F - Exhausted?

题目链接：ARC076 F - Exhausted?

题意：

一行摆了 \(M\) 张椅子，第 \(i\) 张椅子的位于 \(i\) 的位置。有 \(N\) 个人想坐在椅子上休息，第 \(i\) 个人希望自己坐在一张坐标 \(\leq L_i\) 或 \(\geq R_i\) 的椅子，且一张椅子只能坐一个人。

由于不一定所有人都能坐到合适的椅子上，\(Aoki\) 会额外提供一些，这些椅子可以放在任意实数的坐标处，请问最少需要多少张额外的椅子。

\(1\leq N,M \leq 2\times 10^5\)

\(0\leq L_i<R_i\leq M+1(1\leq i\leq N)\)

思路：

把人和椅子分别作为左右部节点，那便是二分图匹配，答案为 \(N\) 减去最大匹配，不过这么做显然不够优秀，想一想还有什么别的计算最大匹配的方法，有！通过霍尔定理（\(Hall's\) \(Theorem\)），这里的答案应为 \(max\{|X|-|\Gamma (X)|\}\) 和 \(0\) 取较大值，\(X\) 为左部节点的任意一个子集， \(\Gamma (X)\) 为 \(X\) 的邻居节点集。

题目中 \(\leq L_i\) 和 \(\geq R_i\) 的限制看起来很麻烦，把它取反，只需要维护 \(\min_{i\in X}\{R_i\}\) 和 \(\max_{i\in X}\{L_i\}\) ，我们把左边界 \(L_i\) 定下来，那么要求的即 \(\sum_{j=1}^N[L_j\leq L_i][R_j\geq k]-(M-(k-L_i+1))\) 的最大值，把 \(M\) 和 \(-L_i+1\) 扔出来，即使\(\sum_{j=1}^N[L_j\leq L_i][R_j\geq k]+k\) 最大，可以线段树扫描线维护，位置 \(i\) 的值初始为 \(i\) 本身（即 \("+k"\)），根据 \(L_i\) 从左往右扫描，处理完一个人就给 \([0,R_i]\) 加 \(1\) ( \(k\in[0,R_i]\) 时自己会被算进去)，每次询问 \([L_i+1,R_i]\) 上最大值（ 由于是开区间 ，\(L_i\) 和 \(k\) 不能重合）。

注意到当 \(\Gamma (X)\) 覆盖了整个 \(M\) 的区域时，\(M-(k-L_i+1)\) 这么算是不对的，所以要先另外处理好，作为 \(ans\) 的初始值即可。

Code:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,b,a) for(int i=(b);i>=(a);i--)
#define N 200200
using namespace std;
struct guest{
    int l,r;
}a[N];
struct SegmentTree{
    int l,r,mx,lazy;
}t[4*N];
int n,m;
void build(int x,int l,int r){
    t[x].l=l,t[x].r=r;
    if(l==r){t[x].mx=l;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(x*2,l,mid),build(x*2+1,mid+1,r);
    t[x].mx=max(t[x*2].mx,t[x*2+1].mx);
}
void pushdown(int x){
    if(t[x].lazy){
        t[x*2].mx+=t[x].lazy,t[x*2].lazy+=t[x].lazy;
        t[x*2+1].mx+=t[x].lazy,t[x*2+1].lazy+=t[x].lazy;
        t[x].lazy=0;
    }
}
void update(int x,int left,int right,int k){
    if(t[x].l>=left&&t[x].r<=right){
        t[x].mx+=k,t[x].lazy+=k; return;
    }
    pushdown(x);
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
    if(mid>=left)update(x*2,left,right,k);
    if(mid<right)update(x*2+1,left,right,k);
    t[x].mx=max(t[x*2].mx,t[x*2+1].mx);
}
int query(int x,int left,int right){
    if(t[x].l>=left&&t[x].r<=right)return t[x].mx;
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1,res=0;
    pushdown(x);
    if(mid>=left)res=max(res,query(x*2,left,right));
    if(mid<right)res=max(res,query(x*2+1,left,right));
    return res;
}
bool cmp(guest a,guest b){return a.l<b.l;}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    rep(i,0,n-1)cin>>a[i].l>>a[i].r;
    build(1,0,m+1);
    sort(a,a+n,cmp);
    int lm=m+1,rm=0;
    rep(i,0,n-1)lm=min(lm,a[i].r),rm=max(rm,a[i].l);
    int ans=n+(rm<lm?lm-rm-1:0);
    rep(i,0,n-1){
        ans=max(ans,query(1,a[i].l+1,a[i].r)-a[i].l);
        update(1,0,a[i].r,1);
    }
    cout<<max(ans-m,0)<<endl;
    return 0;
}