关于魔方的一些思考

在和同学的依次玩魔方过程中想到的有趣的问题。

规定：

旋转：将魔方某条边旋转 \(90^\circ\)。
角块、棱块：角块就是三色的那个，棱块就是棱上双色的那个。
变换：通过有限步的旋转的组合。
状态：可以理解成长得是否一样。如六个面复原是一个状态，拧一下之后就是另一个状态。
方案数：状态数。

魔方变换的性质

初始状态的魔方经过有限次变换，一定会复原（初始状态）。

因为魔方的状态数是有限的，所以不可能变换后一直出现新状态，所以至少会出现：

（\(s\) 是初始状态，\(A\) 是第一次回到的状态，线表示若干个变换，箭头表示变换的方向）

那我们取可以复原的那段应用到 \(s\) 上，

而黑线和绿圈都是由若干同一个变换得来的，但是变换后的状态应该是唯一的，故矛盾。

所以任意变换都应形如一个大环（不能是 \(\rho\) 型）回到初始状态。

计算变换周期

周期：计算初始状态的魔方经过 \(n\) 次同一变换第一次复原的 \(n\)。

整个魔方的复原，等价于每个块都恰好一起复原。
故我们可以先变换几次，计算每个块（棱块或角块）复原的次数（块的周期），所有块的周期的最小公倍数就是整个魔方复原的次数。

这个是 LRUD 层的规定。

比如计算这个变换的周期：R上 -> U左 -> L下 -> D右。

以正面为白，顶面为橙，右面为蓝色为例。

先计算角块的周期。
一次变换后，角块 \(白\textcolor{orange}{橙}\textcolor{blue}{蓝}、白\textcolor{orange}{橙}\textcolor{green}{绿}、白\textcolor{red}{红}\textcolor{green}{绿}、白\textcolor{red}{红}\textcolor{blue}{蓝}、黄\textcolor{red}{红}\textcolor{blue}{蓝}\) 均回到原位置，但是角度不对。如图。

相当于一次变换后，这 \(5\) 个角块，位置不变，而角度旋转一下。那么，旋转三下后复原。
故这 \(5\) 个角块周期为 \(3\)。

经过 \(3\) 次变换后，\(黄\textcolor{orange}{橙}\textcolor{green}{绿}\)、\(黄\textcolor{orange}{橙}\textcolor{blue}{蓝}\)、\(黄\textcolor{red}{红}\textcolor{green}{绿}\) 均回到原位置，但是角度不对。

相当于 \(3\) 次变换后，这 \(3\) 个角块，位置不变，而角度旋转一下。那么，旋转三下后复原。
故这 \(3\) 个角块周期为 \(3\times 3 = 9\)。

再计算棱块的周期。
经过 \(5\) 次变换，\(白\textcolor{blue}{蓝}、白\textcolor{green}{绿}、白\textcolor{orange}{橙}、白\textcolor{red}{红}、\textcolor{red}{红}\textcolor{blue}{蓝}\) 均回到原位置，所以周期为 \(5\)。如图。

经过 \(7\) 次变换，其他棱块同时复原，故周期为 \(7\)。

综上所述：该变换的周期为 \(3, 5, 7, 9\) 的最小公倍数，为 \(315\)。

同样地，读者可以练习 R上 -> U左的周期，为 \(105\)。

普遍地，
把每个块设置一个点，每个点连向变换后的点，那么形成若干环。
但每个环的环长不一定就是周期，因为可能回到原位之后，角度不对，乘 \(3\) 之后才是答案。

那么我们可以拓展这个做法，把每个块 \(2\) 或 \(3\) 个面，每个面均当作一个点（若两个面颜色一样，都是不同的点），连向变换后的位置。

那么所有环长的最小公倍数就是变换的周期了！

魔方的方案数

规定六个面的中心不能变，即讨论的是把魔方所有棱块和角块拆下来，重新组装回去的方案数。

先不考虑能不能还原回去，那么 \(8\) 个角块随便排，是全排列 \(8!\)。排好后还有角度，每个角块可以有 \(3\) 种角度，所以为 \(3^{8}\)。

然后 \(12\) 个棱块，全排列 \(12!\)。每个棱块有 \(2\) 个角度，所以为 \(2^{12}\)。

所以魔方总方案数为 \(8!\times 3^{8}\times 12! \times 2^{12}=519,024,039,293,878,272,000\)。

那么更进一步，我们来计算可以复原的魔方的方案数。

直接计算非常困难，所以可以这么想。

我们都知道，拧一个角之后就不能还原，那么拧一个角之后再打乱也不能还原。拧没拧角，之后再旋转魔方，能得到的状态数是相同的。

其他都同理。
所以总方案数可以被这么划分。

整个矩形是总方案数，每个小矩形是经过不合法的操作（如拧角、拧边、或拧角+拧边）后，通过旋转能到的状态数。

每个小矩形的方案数都是一样的（上面已解释）。

所以我们计算有多少个小矩形（类），总方案数除以矩形个数（类），就是合法方案数。

我们不太好直接计算有多少类，但是我们知道，不论你怎么乱拧，我都可以复原前两层，所以只需要在顶面考虑就可以了。

先考虑顶面十字架的颜色。
这里的棱块指顶层的棱块。

我们知道这个情况，我们可以把相邻的棱块同时翻上去（操作 1）。

而这种情况翻不上去。

有操作 1，我们可以一直翻，直到只有至多一个棱块没翻上去，而且这个没翻上去的块可以通过操作 1 变成其他棱块没翻上去。

所以只有翻或不翻（能构成十字架或不能构成）\(2\) 种。

再考虑顶面十字架侧边的颜色。
我们会操作 2：

这个操作是 ④ 不动，其他的顺时针转。

我们同理可以看成 ①、②、③ 不动，④ 重新选一个位置插入。
如图。

所以可以通过操作 2，使得四个顶层棱块顺时针排成 \(\textcolor{blue}{蓝}\textcolor{orange}{橙}\textcolor{green}{绿}\textcolor{red}{红}\)。

所以我们一定可以把四个顶层棱块的顺序排对。

然后考虑顶层角块的颜色
我们会操作 3：

将左角块逆时针、右角块顺时针，同时往上翻（只考虑这两个块的黄色面是否翻上去，不考虑两个块交换了位置）。

通过操作 3，我们可以使得之多有一个角块黄色没有翻上去。
而且这个没翻上去的角块可以通过操作 3 转移成其他角块没有翻上去。

但是，顺时针或逆时针拧一个角是不同的两类。
因为由上面操作 3 的描述可知，经过若干次操作 3，所有顶层角块顺时针转动次数之和 = 逆时针转动次数之和。
而且，如果存在一个操作：把顺时针拧的角变成逆时针拧的角，而不产生其他影响（不影响其他黄面），那么我们不就会仅通过旋转来构成拧角变换吗，这显然是错误的。

所以顶层角块的颜色有全部都翻上去了 / 有一个角逆时针拧了一下 / 有一个角逆时针拧了一下共 \(3\) 种情况。

最后考虑顶角的位置。
我们会操作 4：