常用三角函数公式及其粗略推导

诱导公式

可以用几何法（通过坐标变换来证）或和差角公式证明。

下面记录一个书上没有的诱导公式。

\[\boxed{ \begin{aligned} & \sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha, \\ & \cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha, \\ & \tan(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cot\alpha, \\ & \cot(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\tan\alpha, \\ & \sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\cos\alpha, \\ & \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sin\alpha, \\ & \tan(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha, \\ & \cot(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=\tan\alpha. \end{aligned} } \]

诱导公式都满足 奇变偶不变，符号看象限。

奇变偶不变：若旋转 \(\dfrac{\pi}{2}\) 的偶数倍，则不改变函数类型。否则改变（\(\sin\) 变 \(\cos\)，\(\cos\) 变 \(\sin\)）。

符号看象限：根据 \(\dfrac{k\pi}{2}\pm \alpha(k\in \mathbb{Z})\) 在第几象限确定符号，默认 \(\alpha\) 是锐角。由第一象限到第四象限，正弦是正正负负，余弦是正负负正，正切是正负正负。

比如 \(\sin(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha)\)。
\(\dfrac{3\pi}{2}\) 是 \(\dfrac{\pi}{2}\) 的奇数倍，所以变成 \(\cos\)；\(\alpha\in(0, \dfrac{\pi}{2})\)，则 \(\pi \lt\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\lt \dfrac{3\pi}{2}\)，在第三象限，\(\sin\) 在第三象限为负，所以添负号。所以 \(\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha\)。

三角恒等变换

两角和差的正弦、余弦和正切公式（和差角公式）

\[\begin{aligned} \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \qquad\qquad\qquad\qquad (C_{(\alpha - \beta)}) \\ \end{aligned} \]

通过把差角旋转至一边与 \(x\) 轴平行证明。具体见数学必修一 P215。

于是可以通过诱导公式证明其他几个正弦余弦公式，正切用 \(\sin\) 除以 \(\cos\) 化简。

\[\begin{aligned} & \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad\qquad\qquad\qquad (S_{(\alpha + \beta)}) \\ & \sin(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad\qquad\qquad\qquad (S_{(\alpha + \beta)}) \\ & \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha\sin\beta, \qquad\qquad\qquad\qquad (C_{(\alpha + \beta)}) \\ & \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha\sin\beta, \qquad\qquad\qquad\qquad (C_{(\alpha - \beta)}) \\ & \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \qquad\qquad\qquad\qquad (T_{\alpha+\beta}) \\ & \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}. \qquad\qquad\qquad\qquad (T_{\alpha-\beta}) \\ \end{aligned} \]

二倍角

用和差角公式推导。

\[\begin{aligned} & \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \\ & \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, \\ & \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}. \end{aligned} \]

第一个公式变形得到

\[\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2\sin\alpha}. \]

结合 \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) 可以得到

\[\begin{aligned} & 1 \pm \sin 2\alpha = (\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2, \\ & 2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha, \\ & 2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha. \\ \end{aligned} \]

而后两个又叫做 降幂升角公式。

万能公式

令 \(t = \tan\dfrac{\alpha}{2}\)。

\[\begin{aligned} & \sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad\qquad\qquad\qquad (\text{1}) \\ & \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad\qquad\qquad\qquad (\text{2}) \\ & \tan\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}, \qquad\qquad\qquad\qquad (\text{3})\\ & t = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}. \qquad\qquad\qquad\qquad (\text{4})\\ \end{aligned} \]

Proof
（\(1\)）：\(\sin\alpha = \dfrac{2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}}{1} = \dfrac{2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}}{\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}\)，上下同除 \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\)。

（\(2\)）：同（\(1\)），用二倍角公式除以 \(1\)。

（\(3\)）：前两个相除即可。

（\(4\)）：第一个等号通过（\(1\)）、（\(2\)）替换 \(\sin\alpha, \cos\alpha\) 化简得证；第二个等号交叉相乘得证。

有万能公式，就能用 \(\tan\alpha\) 表示任意 \(2\alpha\) 的三角函数。

辅助角公式

\[a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x), \]

因为 \((\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 + (\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 = 1\)，根据和差角公式 \(S_{\alpha + \beta}\)，只需要找到 \(\varphi\) 使得 \(\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 或 \(\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 就可以用和差角公式合并。

于是有

\[a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \varphi). \]

半角公式

通过 \(\cos\) 的二倍角公式化简得到半角公式。

\[\begin{aligned} & \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}, \\ & \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}, \\ & \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}. \\ \end{aligned} \]

正负由角度所在象限确定。

积化和差、和差化积

积化和差

\[\begin{aligned} & \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)], \\ & \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)], \\ & \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)], \\ & \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]. \end{aligned} \]

Proof

证第一个即可，其他类似。

\(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\) 分别用和差角公式展开。

和差化积

\[\begin{aligned} & \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}, \\ & \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}, \\ & \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}, \\ & \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}. \end{aligned} \]

Proof

也只证第一个。

由 \(\sin(\alpha+ \beta) + \sin(\alpha- \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta\)，

换元

\[\begin{cases} \theta = \alpha + \beta \\ \varphi = \alpha - \beta \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{\theta+\varphi}{2} \\ \beta = \dfrac{\theta-\varphi}{2} \end{cases}. \]

于是 \(\sin\theta + \sin\varphi= 2\sin\dfrac{\theta + \varphi}{2}\cos\dfrac{\theta - \varphi}{2}\)。