李正元400题 -- 卷一

选择题

1. 定积分比较大小

换元，比较被积函数即可

难度: ⭐

2. 原函数存在定理

拥有第一类间断点和无穷间断点的函数，不存在原函数

难度: ⭐

3. 二元函数可微

定义计算

• 判断f(x,y)在某点(x0,y0)是否可微的方法
  • 利用可微的必要条件证明函数在某点不可微。
    • f(x,y)在(x0,y0)不连续
    • \(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\)或\(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\)不存在
  • 利用可微性的充分条件证明函数在某点可微
    • 偏导数均连续
  • 定义判断可微

难度: ⭐

4. 函数连续，可积判断

五个充分条件；

• 连续函数必可积
• 单调函数
• 有界且只有有限个间断点
• F(x) 连续

定积分存在必有界；

难度: ⭐

5. 矩阵方程

代入选择/ 设出矩阵每个元素

难度: ⭐

6. 方程组相关

系数矩阵

• 列满秩，若有解必有唯一解
• 行满秩，一定有解

难度: ⭐

7.相似与合同

求特征值

难度: ⭐

8. 古典概型

高中题

难度: ⭐

9. |x|的概率密度

定义法求出分布函数，再求导

难度: ⭐⭐

10. 正态标准化

写出\(\bar{X}-\bar{Y}\)服从的分布\(N(0,\frac{2\sigma^2}{n})\)

标准化后，查表得到\(\sqrt{\frac{n}{2}}>=1.96\)

解出n即可

难度: ⭐

填空题

11. 拉格朗日求极限

拉格朗日即可

难度: ⭐

12. 微分方程

求导后常规微分方程

注意初值y(1) = 1

难度: ⭐

13. 求导

2阶导，可以直接en算

高阶可以泰勒/莱布尼兹

难度: ⭐

14.第一型曲面积分

奇偶性 + 投影

常规计算

难度: ⭐⭐

15. 解齐次方程

解齐次方程+单位化

难度: ⭐

16. 几何概型

画图比较面积

难度: ⭐

大题

17. 微分学物理应用

注意变量替换即可。

难度: ⭐

18. 多元微分最值+二重积分

强行放了两个不相干的题在一起。。都是常规计算

没什么意思

难度: ⭐

19. 极限+数列收敛

\(1^∞\)的极限；

上下限都是瑕玷 + 单调有界 + 放缩；

难度: ⭐⭐

20. 格林公式

直接格林+ 挖点

难度: ⭐

21. 向量组

简单计算；

难度: ⭐

22.数字特征+ 最大似然估计+无偏估计

两个题均在粉书里面有一小部分，这道题相当于是拓展。

技巧(https://www.bilibili.com/read/cv13578588?spm_id_from=333.999.0.0)

• X服从N(0,1)，\(E|X| = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\) \(D|X| = 1 - \frac{2}{\pi}\)