22张宇八套卷(过关版) -- 卷三

选择题

1.函数可导性

导数定义

难度: ⭐

2. 函数间断点

找到分母零点，再找极值点

难度: ⭐⭐

3.函数单调、凹凸性

解微分方程

难度：⭐

4. 级数敛散性

条件收敛 ==》R = 3

难度： ⭐

5.正定矩阵

由\(A^3 = A\) 且正负惯性指数均为1，则推出特征值为1, -1,0,0

难度: ⭐⭐

6.秩的公式

结论：矩阵的零化多项式没有重根必可相似对角化

难度: ⭐⭐

7.向量组相关

难度：⭐

8. 二维连续型随机变量

难度: ⭐

9.二维离散型随机变量

利用独立性求参数

难度: ⭐

10.伯努利变型

根据条件列出即可

难度: ⭐

填空题

11. 渐近线

水平渐近线，x趋于无穷;

难度: ⭐

12.第二型曲线积分

格林公式补线

难度: ⭐

13. 方向导数

梯度方向的方向导数，即梯度的模长

难度： ⭐

14. 旋转体体积

第一次知道可以通过到直线距离相等来换轴计算。

难度：⭐⭐⭐

15.分块矩阵行列式计算

常规计算

难度: ⭐

16.概率公式

常规计算

难度: ⭐

大题

17. 不定积分

换元 + 分部

不难计算，但很容易犯错；

• 令\(arcsin(1/x) = t\)，利用三角形找到对应关系

难度: ⭐⭐

18.第一型曲面积分

投影区域\(x^2+3y^2+2xy=4\),是个不规则的椭圆。

• 通过多元微分学算椭圆上的点到原点的最大值和最小值，分别就是椭圆的长半轴和短半轴，从而得到椭圆面积。(粉书上遇到过)
• b站一大佬[https://www.bilibili.com/read/cv13381322?spm_id_from=333.999.0.0]的做法
  • 用正交变换化为标准型 \(λ_1y_1^2+λ_2y_2^2= 4\),正交变换不会拉伸图像，如果用别的可逆线性变换比如配方法，需要乘一个压缩系数(雅各比行列式)。实际上也不需要做正交变换，只需要求特征值即可，二阶矩阵求特征值再简单不过，原方程可以化为 \(\frac{y_1^2}{\frac{4}{λ_1}}+\frac{y_2^2}{\frac{4}{λ_2}}=1\)。

难度: ⭐⭐⭐

19.三重积分

对称性、柱坐标先二后一

难度: ⭐⭐

20 中值定理

• 第一问分离变量，积分中值定理
• 第二问，直接求导
  • \(\int_0^xf(t)dt=\int_0^x(x-t)f(t)dt\)
• 注意题目之间的联系
  • 积分

难度: ⭐⭐⭐⭐

21 特征值，通解，二次型

r(A) = 1;特征值和特征向量；

讨论k的不同取值对r(A+kE)的影响;

斯密特正交单位化

难度: ⭐⭐

22 最大似然估计

常规题

难度：⭐⭐

总结

• 积分中值定理
• 正定矩阵