Luogu P1654 OSU!

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Solution:

定义\(E(x)\)表示在第x位置时的期望得分，考虑\(E(x)\)与\(E(x+1)\)之间的关系

如果\(x+1\)位置为1，则在\(x\)位置结束的连续的1长度都要+1

我们考虑先把\((x+1)^3\)分解，\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

也就是说对所有之前的极长串，他们都要加上\(3x^2+3x+1\)的贡献

则我们考虑来维护\(x^2\)和\(x\)这两个值的期望

维护\(x\)十分简单，\(Ex_1(i)=p(i)\times (Ex_1(i-1)+1)\)，因为是增加值，所以之前的值也都要乘上概率

考虑如何维护\(x^2\)，\((x+1)^2=x^2+2x+1\)，所以\(Ex_2(i)=p_i\times (Ex_2(i-1)+2Ex_1(i-1)+1)\)

最后就是答案了：\(E(i)=E(i-1)+p(i)\times (3Ex_2(i-1)+3Ex_1(i-1)+1)\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1;
int n;
double f1,f2,f3,p[N];
signed main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f3=f3+p[i]*(3*f2+3*f1+1);
		f2=p[i]*(f2+2*f1+1);
		f1=p[i]*(f1+1);
	}printf("%.1lf\n",f3);
    return 0;
}