[SHOI2005]树的双中心

题目链接：Click here

Solution:

首先我们要知道，选择两个点\(A,B\)，必定存在一条边，割掉这条边，两个集合分别归\(A,B\)管

再结合题目，我们就得到了一个暴力的\(n^2\)做法：枚举个每条边，分别对两棵树求带权重心，更新答案

但这显然是过不了这道题的，考虑对求带权重心的过程进行优化：

设\(d(x)\)为\(x\)所在集合内所有点到他的距离之和，\(sz(x)\)表示以\(x\)为根的子树的大小，我们可以得到：

\[d(v)=d(u)+sz(rt)-sz(v)-sz(v) \]

其中\(u=fa(v)\)，则若一个点\(v\)比\(u\)更优，即\(d(v)<d(u)\)，可以得到\(2\times sz(v)>sz(rt)\)

显而易见的是，对于每一个\(u\)，符合条件的\(v\)最多只有一个，则算法得到了很大的优化

我们对每一个点预处理出一个重儿子和次重儿子，处理出次重儿子的原因是割边后\(sz\)会发生变化

然后在更新过程中只要考虑当前重儿子是否满足条件即可，最坏时间复杂度\(O(n \times dep)\)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+1;
int n,ans,cnt,no,head[N],f[N],a[N];
int fa[N],sz[N],son[N],nson[N],dep[N];
struct Edge{int nxt,to;}edge[N<<1];
void ins(int x,int y){
    edge[++cnt].nxt=head[x];
    edge[cnt].to=y;head[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int fat){
    sz[x]=a[x];fa[x]=fat;
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
        int y=edge[i].to;
        if(y==fa[x]) continue;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs(y,x);sz[x]+=sz[y];
        if(sz[y]>sz[nson[x]]){
            nson[x]=y;
            if(sz[son[x]]<sz[nson[x]])
                swap(son[x],nson[x]);
        }f[x]+=f[y]+sz[y];
    }
}
int calc(int x,int val,int u){
    int y=son[x];if(son[x]==no||sz[nson[x]]>sz[son[x]]) y=nson[x];
    if(y&&(sz[y]<<1)>sz[u]) return calc(y,val+sz[u]-(sz[y]<<1),u);return val;
}
void cut(){
    for(int i=1;i<=cnt;i+=2){
        int x=edge[i].to,y=edge[i+1].to;if(fa[y]!=x) swap(x,y);
        no=y;for(int u=x;u;u=fa[u]) sz[u]-=sz[y];
        int u1=calc(1,f[1]-f[y]-sz[y]*dep[y],1);
        int u2=calc(y,f[y],y);ans=min(ans,u1+u2);
        for(int u=x;u;u=fa[u]) sz[u]+=sz[y];
    }
}
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main(){
    n=read();ans=2147483647;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=read(),y=read();
        ins(x,y),ins(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    dfs(1,0);cut();printf("%d\n",ans);
    return 0;
}