于神之怒加强版 (莫比乌斯反演)

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首先哦,令n<=m,我们来化简式子:

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k \]

设gcd(i,j)=d,则可以变成这样:

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md^k\\ \]

把d提到前面去,来枚举d:

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor}[gcd(i,j)=1] \]

然后就可以开始套了

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor}\sum_{x|i,x|j}\mu(x) \]

然后找到满足条件的x的个数,就可以和前面两个sigma说再见了

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{x=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\mu(x)\lfloor{\frac{n}{dx}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{dx}}\rfloor\\ 设T=dx,再来枚举T\\ \sum_{d=1}^nd^k\sum_{x=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}\mu(\frac{T}{d})\lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor\\ \sum_{T=1}^n\lfloor{\frac{n}{T}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{T}}\rfloor\sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d}) \]

一般的题到这一步就能直接搞了,然而会T,所以我们来继续推:

注:以下受@hby大佬的启发,与本人博客差不多

\[f(T)=\sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d})\\ g(T)=T^k \]

看!\(f(T)\)是不是\(\mu\)\(g\)的卷积形式!所以\(f\)是个积性函数!

我们来对\(f(x)\)进行讨论,首先我们将\(x\)分解质因数

\[x=\prod{p_i^{a_i}},p_i\in\mathbb{P}\\ f(x)=\prod{f(p_i^{a_i})}\\ f(p_i^{a^i})=\sum_{d|p_i^{a_i}}d^k\mu(\frac{p_i^{a_i}}{d})\\ 因为p_i是个质数,所以\\ f(p_i^{a_i})=\sum_{j=0}^{a_i}{p_i}^{jk}\mu(p_i^{a_i-j})\\ 再考虑一下\mu的性质,可以得出只有当j=a_i或j=a_i-1时,\mu不为0,于是\\ f(p_i^{a_i})=p_i^{a_ik}-p_i^{(a_i-1)k}\\ p\in\mathbb{P},于是对于f(xp),若p|x,则只是多了几个指数而已,那么f(xp)=f(x)*p^k\\ 否则,就是添加了几个质因数,则f(xp)=f(x)*(p^k-1) \]

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e6+1;
const int pps=1e9+7;
int n,m,k,t,tot;
int pri[N],mu[N],vis[N],p[N],f[N];
int quick(int a,int b){
    int sum=1;
    while(b){
        if(b&1) sum*=a,sum%=pps;
        a=(a*a)%pps,b>>=1;
    }return sum%pps;
}
void prepare(){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,p[tot]=quick(i,k),f[i]=p[tot]-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=N;j++){
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(!(i%pri[j])){
                f[i*pri[j]]=f[i]*p[j]%pps;
                break;
            }f[i*pri[j]]=f[i]*(p[j]-1)%pps;
        }
    }for(int i=1;i<=N;i++) f[i]=(f[i]+f[i-1])%pps;
}
int calc(int n,int m){
    int d=1,sum=0;
    while(d<=n&&d<=m){
        int pre=d;d=min(n/(n/d),m/(m/d));
        sum=(sum+(n/d)*(m/d)%pps*(f[d]-f[pre-1])%pps)%pps;
        ++d;
    }return (sum+pps)%pps;
}
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
signed main(){
    t=read(),k=read();
    prepare();
    while(t--){
        n=read(),m=read();
        printf("%lld\n",calc(n,m));
    }
    return 0;
}
posted @ 2019-03-16 18:31  DQY_dqy  阅读(200)  评论(0编辑  收藏  举报