线性同余方程

AcWing 878. 线性同余方程

给定 \(n\) 组数据 \(a_i,b_i,m_i\)，对于每组数求出一个 \(x_i\)，使其满足 \(a_i \times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}\)，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一组数据 \(a_i,b_i,m_i\)。

输出格式

输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 \(x_i\)，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 \(int\) 范围之内。

数据范围

\(1 \le n \le 10^5\),
\(1 \le a_i,b_i,m_i \le 2 \times 10^9\)

输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
-3

题解

思路

我们将题目里的方程转化一下

\(a_i \times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}\)

\(↓\)

\((a_i \times x_i) \mod {m_i} = b_i\)

\(↓\)

\(a_i \times x_i = m_i \times y_i + b_i\) \((y_i = (a_i \times x_i) / m_i)\)

\(↓\)

\(a_i \times x_i - m_i \times y_i = b_i\)

\(↓\)

\(a_i \times x_i + (-m_i) \times y_i = b_i\)

观察到这个方程的特殊性了吗？

与扩展欧几里得方程一样！

\(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\) \(a_i \times x_i + (-m_i) \times y_i = b_i\)

也就是说当\(b_i\)是\(a_i\)和\(m_i\)的公约数\(gcd(a_i, b_i)\)的倍数方程就成立，也就是\(b_i = k \times gcd(a_i, b_i)\) \(k = 1, 2, ···\)

• 由扩展欧几里得方程我们知道，下一层的$gcd(b_i, a_i \mod b_i) $ \(x' = x\)，\(x\)不会改变， \(y' = y - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times x\)
• 本题只求最终递归完成后的系数\(x\)，符合要求的答案\(x\)不止一个，求出来的可能不一样

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long


int n;
int a, m, b, x, y;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b) //找到了公约数
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int gcd = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    
    return gcd;
}


void solve()
{
    cin >> a >> b >> m;
    int gcd = exgcd(a, -m, x, y);
    //cout << m << endl; 
    
    if (b % gcd != 0) //如果b不是 a和m公约数gcd 的k倍
    {
        cout << "impossible" << endl;
    }
    else
    {
        int k = b / gcd; //当b是gcd(a, m)的k倍，那么等式另一边的x和y也要乘上k倍，等式才成立
        cout << x * k % m << endl; //%m保证答案在int范围内
    }
    
    return;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    
    cin >> n;
    while(n -- )
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

• 一个特殊点说明

   cout << x * k % m << endl; //%m保证答案在int范围内
  

  这里为了保证x * k在int范围内，mod上k，那为什么可以mod k呢，观察题目， \(a_i \times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}\)，模上m后x也是满足这个式子的，因为符合这个式子的答案x不止一个，我们取出较小的就行