扩展欧几里得算法

AcWing 877. 扩展欧几里得算法

给定 \(n\) 对正整数 \(a_i, b_i\)，对于每对数，求出一组 \(x_i, y_i\)，使其满足 \(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\)。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含两个整数 \(a_i, b_i\)。

输出格式

输出共 \(n\) 行，对于每组 \(a_i, b_i\)，求出一组满足条件的 \(x_i, y_i\)，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 \(x_i, y_i\) 均可。

数据范围

\(1 \le n \le 10^5\),
\(1 \le a_i,b_i \le 2 \times 10^9\)

输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

题解

思路

前导题

• 利用辗转相除法求最大公约数，也就是欧几里得算法(gcd算法)

• int gcd(int a, int b)
  {
      return b ? gcd(b, a % b) : a;
  }
  

• 辗转相除法里面有一个注意点 gcd(a, b)的下一层一定是gcd(b, a % b)，要进行翻转，因为我们实际上是将a%b，b不变，a%b的结果一定是小于b的，如果还写成gcd(a % b, b)，那么下一层函数会执行(a % b) % b 结果永远等于a % b，就会导致无限递归，所以要进行翻转，将更小的a % b放在后面。

• • 举个例子

  • • \((78，14)=(14×5+8, 14)=(8, 14)\)，在进入下一层函数时，就应写成\(gcd(14, 8)\)，这样才能正确执行 \(14 mod 8\) 的操作

本题题意

求出一组 \(x_i, y_i\)，使其满足 \(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\)。

前置知识

\[裴蜀定理： 对于任意正整数a, b,一定存在整数x, y, 使得: ax + by = gcd(a, b) ，gcd(a, b)是a和b的最大公约数 \]

推导

• 我们在给gcd()传入参数时，将我们要求的\(x, y\)也传入，则第一层gcd()就是gcd(a, b, x, y)

• \(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\) 进入下一层gcd()时，变成了gcd(b, a % b)，那么本题对应的系数\(x, y\)也要翻转，就变为gcd(b, a % b, y, x)

• 把gcd(b, a % b, y, x)的表达式根据 \(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\)剖析开也就是 \(b \times y + (a \mod b) \times x\)

• 但我们标准的\(x, y\)系数应该是对应的a和b， \(a_i \times x_i + b_i \times y_i = gcd(a_i, b_i)\)也就是说这里的y和x相比于上一层gcd(a, b, x, y)改变了，我们将其拆开重新去找对应于a和b的系数x, y

  拆分 \(b \times y + (a \mod b) \times x = gcd(b_i, a_i \mod b_i)\)

  • \(a \mod b = a - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times b\)
  • 拆开
  • \(b \times y + (a - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times b) \times x\)
  • \(a \times x + b \times (y - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times x)\)
  • 新的\(x = x\)
  • 新的\(y = y - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times x\)
  • x没变，只有y变了，只用改变y

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int n;
int a, b, x, y;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) //注意这里x和y一定要以引用方式传入，否则不会改变x和y本来的值，传不回solve()
{
    //辗转相除，直到小括号内右边数为0
    if(!b) //当b等于0找到了最大公约数a
    {
        //此时让系数x=1, y=0, 就能满足题目要求a*1 + b*0=gcd(a, b)=a 但往前返回的时候x和y会改变，这里的特判是为了往回递归的时候方便更新y的值
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    //这里初始化d=gcd(b, a % b, y, x)的原因是要让gcd() 上一层递归返回后，都更改一次下面的系数y
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    
    //重新计算系数y
    y -= (a / b) * x;
    
    return d;
}

void solve()
{
    cin >> a >> b;
    exgcd(a, b, x, y);
    
    cout << x << " " << y << endl;
    
    return;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        solve();
    }
    
    return 0;
}