图论树论常见总结

想提升图和树题的“思维广度”，最有效的不是背更多算法，而是建立一套判断流程：

先识别结构，再把题意翻译成标准模型，最后根据数据范围选择工具。

下面给你一套可以长期使用的框架。

一、拿到图论题，先问这 8 个问题

1. 图是什么类型？

先在草稿上标出来：

• 有向还是无向？
• 有权还是无权？
• 权值是否可能为负？
• 连通还是不连通？
• 是否保证无环？
• 是否有重边、自环？
• 图是静态的还是会不断加边、删边？
• 图比较稀疏还是稠密？

这些信息经常直接决定算法。

例如：

无向 + 连通 + n-1 条边

立刻得到：

这是一棵树

有向 + 无环

立刻想到：

拓扑排序、DAG DP

无权图最短路

立刻想到：

BFS

2. 题目到底在问什么？

常见目标可以归为：

• 连通性；
• 最短路；
• 最长路；
• 最小生成树；
• 路径查询；
• 环；
• 遍历所有边；
• 选择一些点或边；
• 最大值最小、最小值最大；
• 动态加边、删边；
• 路径数量、方案数量。

把题目中的故事去掉，翻译成一句数学语言。

例如之前的巡逻题：

建立新边，使闭合巡逻路线最短

可以翻译为：

基础代价 2(n-1)，最大化新边带来的节省

这种“答案 = 固定基础值 - 最大收益”是很常见的转换。

3. 数据范围允许什么复杂度？

大致可以这样判断：

数据范围	常见复杂度
(n\le 20)	状压、指数搜索
(n\le 500)	(O(n^3)) 可能可以
(n\le 5000)	考虑 (O(n^2))
(n\le 2\times10^5)	通常需要 (O(n)) 或 (O(n\log n))
(n,m\le 10^6)	尽量线性

先想一个暴力做法，然后看它慢在哪里。

不要一开始就强行猜高级算法。

二、一般图的常用模型

1. 连通性

看到：

能否互相到达
连通块数量
不断合并两个集合

考虑：

• 静态图：DFS/BFS；
• 只加边、不删边：并查集；
• 离线删边：倒序变成加边；
• 更复杂动态连通：可撤销并查集、线段树分治。

并查集擅长维护：

哪些点属于同一个集合

但它本身不知道集合内部的路径结构。想维护更多信息，需要在根节点额外保存，例如：

size[root]
diameter[root]
edgeCount[root]

2. 最短路

边权情况	常用算法
所有边权都是 1	BFS
边权只有 0 和 1	0-1 BFS
边权非负	Dijkstra
有负边	Bellman-Ford 或特殊结构 DP
有向无环图	拓扑排序后 DP
点数很小，求任意两点	Floyd

一个重要习惯：

看到“最短路”先看边权，不要直接写 Dijkstra。

3. 最小生成树

看到：

连接所有点
选择一些边
总权值最小
不要求原图中的路径最短

考虑：

• Kruskal：边排序 + 并查集；
• Prim：不断选择连接当前集合的最小边。

注意最短路和最小生成树不同：

最短路：关注一个点到另一个点的距离
生成树：关注连接所有点的总成本

4. 有向无环图

看到：

任务依赖
先做 A 才能做 B
课程顺序
无环有向图

考虑：

• 拓扑排序；
• 拓扑序上的 DP；
• 判断环；
• 最长链、最短链、方案数。

DAG 上的最长路是容易做的；一般图的最长简单路径通常很难。

5. 强连通、桥和割点

看到：

删掉一条边后不连通
删掉一个点后不连通
有向图中互相可达

考虑：

• 无向图桥、割点：Tarjan；
• 有向图强连通分量：Tarjan/Kosaraju；
• 缩点后得到 DAG，再进行 DP。

6. 二分图、匹配、网络流

看到：

人和任务配对
左边集合与右边集合匹配
每个对象最多选一次

考虑二分图匹配。

看到：

容量限制
资源从源点流向汇点
若干条不相交路径
分配问题

考虑最大流、最小费用最大流。

7. 欧拉路和哈密顿路要分清

欧拉路：

每条边经过一次

核心看节点度数。

哈密顿路：

每个点经过一次

一般图中通常很难，不要把两者混淆。

三、树为什么特殊？

树有几个极强的性质：

1. 任意两点之间只有一条简单路径；
2. 有 n-1 条边；
3. 任意删掉一条边都会断开；
4. 任意加入一条边都会形成唯一的环；
5. 选定根以后，每个节点只有一个父亲；
6. 子树之间除了父节点外互不相交。

很多树题都是利用“唯一路径”把全局问题拆成局部问题。

所以拿到树题后，可以依次想：

能否定根？
能否从儿子向父亲汇总信息？
一条路径能否拆成两条向下链？
能否从叶子反向处理？
能否把子树变成一个连续区间？

四、树上的基础工具

1. DFS/BFS 和定根

定根之后：

无向树
↓
父子关系
↓
子树结构

最基础的树形 DP 框架：

void dfs(int u, int father) {
    // 初始化 u 的状态

    for (int v : tree[u]) {
        if (v == father) continue;

        dfs(v, u);

        // 用儿子 v 的状态更新 u
    }
}

所有状态都必须先用一句话定义清楚，例如：

dp[u] 表示以 u 为根的子树中的答案

或者：

dp[u] 表示从 u 向下走的最大收益

状态含义含糊，转移几乎一定会写乱。

2. 树的直径、中心和半径

树的直径：

树上最长简单路径

无权树可以两次 DFS/BFS：

1. 任意点出发找最远点 s；
2. 从 s 出发找最远点 t；
3. s-t 是直径。

树的半径：

[
\left\lceil\frac{\text{直径}}2\right\rceil
]

树的中心是直径中间的一个或两个点。

触发词：

树上最远距离
最长路径
选一个点使最远距离最小

但不要看到树就立刻求直径。分叉结构、选多个点等问题，往往不能只看直径。

3. 最长链与次长链

任何一条经过节点 u 的路径都可以拆成：

某个子树向上到 u + 从 u 向下到另一个子树

所以维护：

first[u]：从 u 向下的最长链
second[u]：从 u 向下的次长链

经过 u 的最大路径：

first[u] + second[u]

这适合：

• 求树的直径；
• 求最大带权路径；
• 从两个不同子树选择路径；
• 前面巡逻题中的第二条净收益路径。

重点是：

最长链和次长链必须来自不同儿子方向。

4. 换根 DP

普通树形 DP只知道“子树内部”。

如果每个点都要作为根计算答案，就考虑换根 DP：

1. 第一次 DFS：计算子树贡献；
2. 第二次 DFS：把父亲方向的贡献传给儿子。

触发词：

对每个节点求答案
每个点作为起点
所有点到其他点的距离和
删掉某个点后的最大部分

典型例子：

求每个点到所有点的距离之和

5. 树上背包

看到：

选择恰好 k 个节点
在每棵子树中选择若干个
选择节点且满足父子限制

考虑树形背包。

常见状态：

dp[u][j]

表示在 u 的子树中选择 j 个点的最优答案。

合并儿子时枚举：

当前已经选多少
从新儿子的子树中再选多少

复杂度经常是 (O(nk^2)) 或经过优化后的 (O(nk))。

6. LCA

看到大量两点路径问题：

两点距离
路径长度
路径上的公共祖先

考虑最近公共祖先 LCA。

无权树中：

[
dist(u,v)=depth[u]+depth[v]-2depth[LCA(u,v)]
]

一般使用倍增，预处理 (O(n\log n))，单次查询 (O(\log n))。

7. DFS 序

一次 DFS 可以让某个节点的整棵子树对应一个连续区间：

子树 u ↔ [dfn[u], out[u]]

于是：

子树修改、子树查询

可以转换为：

数组区间修改、区间查询

然后使用：

• 前缀和；
• 树状数组；
• 线段树。

8. 树链剖分

DFS 序只能直接处理子树。

如果题目是：

修改 u-v 路径
查询 u-v 路径

考虑树链剖分，把一条树上路径拆成 (O(\log n)) 个连续区间，再交给线段树。

9. 删叶子

看到：

树的中心
从外向内缩小
保留连通核心
最远距离最小

考虑一层一层删叶子。

删一层叶子，相当于从树的边界向内推进一个单位。

刚才的核心城市题就是：

删到剩余点数不超过 k

删了多少层就是最小最大距离。

10. 点分治

看到大量距离相关问题，并且普通 DFS 很难：

树上是否存在距离为 k 的点对
统计距离不超过 k 的点对
动态查询某点附近的信息

考虑点分治。

这是偏高级的内容，可以等 LCA、树形 DP、树链剖分熟练后再学。

五、最重要的题意转换技巧

1. 最大值最小：固定答案检查

看到：

最小化最大距离
最大化最小距离

先考虑：

如果答案固定为 R，能否判断是否可行？

若存在单调性：

R 可行，则更大的 R 也可行

就可以二分答案。

典型题：

• 最小化最大分段和；
• 最大化点之间最小距离；
• 最小化覆盖半径；
• 限定最长路径后能否完成。

不是所有题都需要二分。有时固定答案后可以直接逐层推进，比如删叶子。

2. 正着选择困难，就反着删除

例如：

选择哪些点作为核心

正面选择有很多组合。

反过来想：

哪些边缘点可以安全删除？

往往立刻变成删叶子。

其他常见反向思考：

动态删边 → 倒序加边
最后状态 → 从最后一步向前推
选择保留什么 → 考虑删除什么

3. 基础代价加收益

先计算一个必然可行的基础答案：

基础答案

然后问每个操作能节省多少：

[
答案=基础代价-最大收益
]

巡逻题中：

基础代价 = 2(n-1)
新路对应路径的边可以少走一次

因此问题变成最大化路径收益。

这种思路常出现在：

• 重复经过边；
• 修改少量边；
• 增加少量设施；
• 在已有方案上进行优化。

4. 按点贡献或按边贡献

如果直接计算整体很难，可以问：

每个点贡献多少？
每条边贡献多少？

树上一条边被多少条路径经过，通常可以通过切断这条边后的两侧大小计算。

例如一条边切开后两边大小为 s 和 n-s，经过这条边的点对数量是：

[
s(n-s)
]

这种“边贡献”非常常见。

5. 加一条边，先看唯一形成的环

树中加入一条 u-v 边，会形成唯一的环：

新边 + 原树中的 u-v 路径

因此所有“树上加一条边”的题，都应该先研究原来的 u-v 路径。

之前巡逻题就是典型例子。

6. 路径问题找最高点

定根后，任何路径 u-v 都可以拆成：

u → LCA(u,v)
LCA(u,v) → v

树形 DP 中，一条路径也可以看成：

从某个儿子向上到 u
再从 u 向下到另一个儿子

所以：

最长链 + 次长链

本质上是在枚举路径的最高点。

7. 只保存未来真正需要的信息

动态森林直径题中，一个连通块未来合并时只需要：

并查集根 + 当前直径

不需要真的加入新边、重建树。

这种思想叫“状态压缩”：

不保存整个历史，只保存足够决定未来的统计量。

做动态题时经常问：

未来操作究竟需要知道当前结构的哪些信息？

六、如何设计树形 DP

设计树形 DP时按这四步来。

第一步：定义状态

一定写成完整句子：

dp[u] 表示……

例如：

dp[u] 表示从 u 出发，只向子树方向走的最大路径权值

第二步：考虑叶子

叶子没有儿子，状态应该是什么？

例如最长向下链：

dp[leaf] = 0;

叶子的初始化经常能帮助你检验状态定义是否正确。

第三步：考虑一个儿子如何贡献

假设已经知道 dp[v]，它怎样更新 dp[u]？

gain = dp[v] + weight(u,v);

第四步：答案在哪里产生？

答案可能：

• 就是根节点的 dp[root]；
• 在每个节点合并两个儿子时产生；
• 需要第二次换根；
• 需要对所有 dp[u] 取最大值。

最长路径问题的答案通常不是 dp[root]，而是：

max(first[u] + second[u])

七、正确性证明的常用模板

1. 下界 + 构造

先证明任何方案都至少是 X，再构造一个恰好达到 X 的方案。

例如合并两棵树的直径：

任何连接方式至少受到原直径和半径的限制
连接两个中心可以达到这个下界

2. 交换论证

假设最优方案不是我们想要的结构，证明可以把其中一部分替换掉，并且答案不会变差。

常用于：

• 贪心；
• 最小生成树；
• 区间选择；
• 排序策略。

3. 子树归纳

先假设所有儿子的状态正确，再证明按照转移得到的父节点状态正确。

这是树形 DP 最标准的证明。

4. 唯一路径分解

证明树上一条路径一定经过某个节点或某条边，然后枚举这个关键位置。

最长、次长链就是在枚举路径的最高点。

5. 单调性证明

二分答案前必须证明：

R 可行 ⇒ R+1 一定可行

不能因为答案是数字就直接二分。

八、常见误区

1. 看到树就求直径

直径适合“单条最长路径”或“单个中心”。

但如果选择可以分叉，例如选多个连通节点，直径可能无法描述全部结构。

2. 把最长和次长直接相加

必须确认它们来自不同方向，否则可能重复经过同一条边。

3. 负权树仍然两次 DFS 求直径

两次找最远点的方法依赖边权非负。

出现负权后，使用树形 DP求最大路径更稳妥。

4. 节点数和边数混淆

路径：

v1-v2-...-vk

有 k 个节点，但只有 k-1 条边。

5. DFS 全局变量没有重置

两次 DFS 前常见的：

res = -1;
w = start;

必须重新初始化。

6. 递归爆栈

树可能是一条几十万节点的链。

逻辑正确但运行时错误时，要考虑：

• 改为迭代 DFS；
• 显式维护栈；
• 用正序和逆序模拟后序遍历。

7. 状态含义变化

不能一会儿让：

dp[u] = 子树直径

一会儿又让它表示：

dp[u] = 向下最长链

需要不同数组或清晰命名。

九、建议的学习顺序

可以按下面顺序练习。

第一阶段：图的遍历

• DFS/BFS；
• 连通块；
• 二分图染色；
• 拓扑排序；
• 无权最短路。

第二阶段：树的基础

• 子树大小；
• 深度和父亲；
• 树的直径；
• 树的中心；
• 最长链、次长链；
• 删叶子。

第三阶段：树形 DP

• 最大独立集；
• 树上选择与不选择；
• 换根 DP；
• 树形背包；
• 带权最大路径。

第四阶段：路径查询

• LCA；
• 树上差分；
• DFS 序；
• 树状数组和线段树；
• 树链剖分。

第五阶段：高级图论

• 强连通分量；
• 桥和割点；
• 最小生成树；
• 网络流、二分图匹配；
• 点分治、可撤销并查集。

十、做题时可以使用的检查表

以后遇到图或树题，可以在草稿上快速写：

1. 图的类型是什么？
2. 数据范围允许什么复杂度？
3. 去掉故事后，目标是什么？
4. 先写出的暴力是什么？
5. 重复计算在哪里？
6. 是点贡献、边贡献，还是路径贡献？
7. 最大最小问题能否固定答案？
8. 正着选择困难，能否反向删除？
9. 树上能否定根并从儿子合并？
10. 最终答案在根、某个节点，还是某条路径上？

你最近做的三道题刚好代表三种非常典型的转换：

题目	表面问题	核心转换
动态森林直径	不断连接连通块	并查集维护连通块直径
巡逻加路	新增道路减少巡逻距离	基础代价减收益，重合边赋 -1
核心城市	选择连通的 k 个点	从边缘逐层删叶子

真正要积累的不是这三道题的代码，而是这三个信号：

动态合并 → 并查集
基础方案上优化 → 计算收益
连通核心、最远距离 → 从叶子反向缩小

当这些信号见得足够多，你思考新题时就不会只有“DFS 或直径”一条路，而会自然地同时尝试状态压缩、反向处理、贡献统计、树形 DP和固定答案检查。