概率dp

概率DP

概率dp有两个很核心的思想

概率 DP（求某个事件发生的概率）：

正向推导逻辑：由已知的初始状态（概率为 1）出发，沿着时间轴顺推，将概率按转移分支分散，直到目标状态。方程形态：\(P(\text{当前}) = \sum P(\text{前驱}) \times \text{转移概率}\)

期望 DP（求到达终点需要的步数/代价）：

逆向推导逻辑：由于“期望”定义为“未来还需要付出的代价”，所以必须从明确知道未来的状态（终点，未来代价为 0）开始，一步步倒推回初始状态。方程形态：\(E(\text{当前}) = \text{当前步的代价} + \sum \text{转移概率} \times E(\text{后继})\)

状态的定义

尝试从正面和逆向两种思想来定义状态：
dp[阶段][状态] = 进行到这一阶段时，恰好处于该状态的概率
这类是“正推”：已知初始分布，模拟概率如何流动。
dp[状态] = 从该状态开始，最终成功的概率
这类是逆推：一个状态的答案等于下一步所有可能状态答案的概率加权平均。

寻找边界

期望 DP 的锚点通常是目标状态 \(f_{\text{target}} = 0\)（到达目标不需要再走），或者极端状态（一定不会影响答案，且确定的）

列公式

无脑列方程（全期望公式）：
不管有没有后效性（循环依赖），先把全期望公式列出来。
格式永远是：\(f_i = 1 + p_1 \cdot f_{\text{走法1}} + p_2 \cdot f_{\text{走法2}} + \dots\)

处理后效性（解方程）：

如果发现 \(f_i\) 依赖了 \(f_{i-1}\)，说明出现了环。

后效性的处理方式

当状态转移方程中出现 \(f_i\) 依赖 \(f_{i+1}\) 和 \(f_{i-1}\)（比如一条链上的来回走动），直接 for 循环是推不出来的。

神技 1：单步期望差分（降维法）适用场景：

只能往左走一步或往右走一步的线性结构（例如 B 君按开关）。操作：令状态为“从 \(i\) 走到 \(i-1\) 的单步期望”，通过代数化简把 \(f_{i-1}\) 消掉，变成只依赖 \(f_{i+1}\) 的一阶递推。

神技 2：待定系数法（树上期望 DP）适用场景：

在树形结构上随机游走，既能走向父亲，也能走向儿子。操作：树上的状态转移最终都可以化简为 \(f_u = A_u \cdot f_{fa} + B_u\) 的形式。我们通过一遍 DFS 从叶子节点往上推算出所有的 \(A_u\) 和 \(B_u\)，再通过一遍 DFS 从根节点（\(f_{root} = 0\)）往下算出所有的 \(f_u\)。

神技 3：高斯消元（万能暴力解法）适用场景：

一般的图论随机游走，状态关系是一张复杂的网，毫无规律。操作：把有 \(N\) 个状态的转移方程看作 \(N\) 元一次方程组，直接套用 \(\mathcal{O}(N^3)\) 的高斯消元法求解。

四种常见模型

模型 1：收集邮票 / 抽卡模型 (Coupon Collector)特征：

每次等概率获取 \(N\) 种物品中的一种，求集齐所有物品的期望次数。状态：\(f_i\) 表示已经收集了 \(i\) 种，还想收集剩下 \(N-i\) 种的期望次数。转移：\(f_i = 1 + \frac{i}{N} f_i (\text{抽到已有的}) + \frac{N-i}{N} f_{i+1} (\text{抽到新的})\)化简：\(f_i = f_{i+1} + \frac{N}{N-i}\)模型

2：带有“死亡/重置”的闯关模型特征：

连续成功 \(N\) 次才算通关，一旦失败直接退回起点（或者损失一半进度）。套路：利用前缀期望思想。假设过第 \(i\) 关的成功率为 \(p_i\)。方程：\(E_i = E_{i-1} + 1 (\text{先花1步尝试}) + (1-p_i) \cdot (\text{失败后的惩罚步数})\)。

模型 3：DAG（有向无环图）上的随机游走特征：

只能往前走，不能回头。解法：最简单的期望 DP。直接在反图上跑拓扑排序，或者采用记忆化搜索，从终点逆推到起点即可。

模型 4：状态压缩 + 期望 DP特征：

发现物品数量或者状态数极小（\(N \le 20\)）。解法：结合二进制位运算，将所有的已知状态压缩为一个整数。方程通常是 \(f_{mask} = \sum P_i \cdot f_{mask \cup \{i\}} + \text{代价}\)。

对于有后效性的dp可以采用下面方式

后效来源 / 状态	常规复杂度	常见优化
最近 k 步	O(T·A^k·D)	自动机压缩、KMP / AC 自动机、矩阵快速幂
出现过哪些事件（bitmask）	O(n·2^n) 或更高	SOS DP、子集卷积、Meet in the Middle、对称状态合并
累计和 / 还差多少	O(T·目标·D)	前缀和、滑动窗口、差分、FFT/NTT 卷积、取模压缩
各类别剩余数量	状态数为组合数	计数向量、去掉身份、排序规范化、生成函数
剩余次数很大	O(T·S·D)	矩阵快速幂、线性递推加速
时间模周期	O(T·m·S·D)	将周期并入状态，按完整周期做矩阵快速幂
上一步 / 当前模式	O(T·S·模式数)	合并等价模式、稀疏转移、低秩转移优化
对称状态	原状态数很大	规范化、轨道合并（对称类）
抽取不放回	状态维度较高	用剩余数量、超几何分布 / 组合数直接转移
有环状态	解方程通常 O(S^3)	SCC 分块、稀疏矩阵、迭代法、利用结构化转移