CRT中国剩余定理

来源

中国剩余定理其实并不神秘，它在中国古代有一个非常接地气的名字，叫做“韩信点兵”。第一步：直觉与物理意义 —— 韩信点兵传说韩信带兵，他不直接去数有多少人，而是让士兵排阵：士兵 3 人一排，多出 2 人。士兵 5 人一排，多出 3 人。士兵 7 人一排，多出 2 人。韩信看了一眼，就知道了总人数。用数学语言翻译一下，就是要求一个未知的整数 \(x\)，满足这样一个一元线性同余方程组：$$x \equiv 2 \pmod 3$$$$x \equiv 3 \pmod 5$$$$x \equiv 2 \pmod 7$$如果去死猜这个数字会很麻烦。中国剩余定理的核心智慧，在于“分而治之，互不干扰”的构造思想。

核心构造思想

怎样才能找出一个 \(x\)，能同时满足这三个条件？CRT 的思路是：我们把 \(x\) 拆分成三个部分相加：
\(x = x_1 + x_2 + x_3\)。我们希望这三个部分各司其职：
\(x_1\) 专门负责搞定第一个条件（除以 3 余 2）。同时，为了不干扰别人，它必须是 5 和 7 的倍数（这样除以 5 和 7 余数都是 0）。
\(x_2\) 专门负责搞定第二个条件（除以 5 余 3）。同时，它必须是 3 和 7 的倍数。
\(x_3\) 专门负责搞定第三个条件（除以 7 余 2）。同时，它必须是 3 和 5 的倍数。
如果你能构造出这样的 \(x_1, x_2, x_3\)，把它们加起来，完美的 \(x\) 就诞生了！

怎么构造

我们以构造 \(x_1\) 为例。已知 \(x_1\) 必须是 5 和 7 的倍数，也就是 \(35\) 的倍数。我们要找一个 \(35\) 的倍数，让它除以 3 余 2。怎么找呢？数学家喜欢先找“单位 1”：能不能先找一个 35 的倍数，让它除以 3 余 1？设这个数是 \(35 \cdot t_1\)。我们需要：$$35 \cdot t_1 \equiv 1 \pmod 3$$发现了吗？！这不就是求 \(35\) 在模 \(3\) 意义下的乘法逆元吗？这就是我们刚刚用扩展欧几里得算法学的绝技！调用一下我们刚写的函数 exgcd(35, 3, t1, y)，求出来的 \(t_1\) 就是我们要找的系数（这里 \(t_1 = 2\)）。既然 \(35 \cdot 2 \equiv 1 \pmod 3\)（70 除以 3 确实余 1）。我们要的是余 2，所以只要在这个“单位 1”的基础乘上韩信要求的余数 \(2\) 即可：$$x_1 = 2 \cdot (35 \cdot 2) = 140$$完美！\(140\) 是 5 和 7 的倍数，且除以 3 刚好余 2。

通用公式

把上面这个极其优雅的过程公式化。假设方程组为 \(x \equiv a_i \pmod{m_i}\)（注意：所有 \(m_i\) 必须两两互质）。计算所有模数的乘积：\(M = m_1 \cdot m_2 \cdot \dots \cdot m_k\)。对于第 \(i\) 个方程：计算除了 \(m_i\) 以外其他所有模数的乘积：\(M_i = \frac{M}{m_i}\)。用 ExGCD 求出 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 下的乘法逆元，记作 \(t_i\)。构造出它的专属项：\(x_i = a_i \cdot M_i \cdot t_i\)。把所有的项加起来，并对总乘积 \(M\) 取模，得到最小正整数解：$$x = (x_1 + x_2 + \dots + x_k) \bmod M = \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \cdot M_i \cdot t_i \right) \bmod M$$

模板题

P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪

题目描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有 \(16\) 头母猪，如果建了 \(3\) 个猪圈，剩下 \(1\) 头猪就没有地方安家了。如果建造了 \(5\) 个猪圈，但是仍然有 \(1\) 头猪没有地方去，然后如果建造了 \(7\) 个猪圈，还有 \(2\) 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\) —— 建立猪圈的次数，接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(a_i, b_i\)，表示建立了 \(a_i\) 个猪圈，有 \(b_i\) 头猪没有去处。你可以假定 \(a_1 \sim a_n\) 互质。

输出格式

输出包含一个自然数，即为曹冲至少养母猪的数目。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
3 1
5 1
7 2

输出 #1

16

说明/提示

\(1 \leq n\le10\)，\(0 \leq b_i\lt a_i\le100000\)，\(1 \leq \prod a_i \leq 10^{18}\)

通过代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
using i64 = long long;

i64 t;
i64 a[100005], b[100005];

i64 exgcd(i64 a, i64 b, i64& x, i64& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    i64 x1, y1;
    i64 d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return d;
}

int main() {
    cin >> t;
    i64 ans = 1;
    for (i64 i = 1; i <= t; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i]; // 注意题意：确保 a[i] 是模数，b[i] 是余数
        ans *= a[i];
    }
    
    i64 s = 0;
    for (i64 i = 1; i <= t; i++) {
        i64 k = ans / a[i];
        i64 x, y;
        exgcd(k, a[i], x, y);
        
        // 修复 1：将逆元强制转化为正数
        x = (x % a[i] + a[i]) % a[i];
        
        // 修复 2：使用 __int128 防止连乘时爆 long long，步步取模
        // 写法解析：先将 k 转为 128位整数，乘 b[i] 取模，再乘 x 取模
        i64 term = (i64)((__int128)k * b[i] % ans * x % ans);
        
        s = (s + term) % ans;
    }
    
    // 因为前面的计算都保证了正数，这里其实直接 cout << s << endl; 也可以
    // 但加上 (s + ans) % ans 是个很好的托底习惯
    cout << (s + ans) % ans << endl;
    
    return 0;
}