扩展欧几里得定理

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm，简称 ExGCD）是数论中非常核心的算法。在处理组合数学问题、计算多重集排列组合的取模运算时，它通常是计算乘法逆元的首选工具。普通的欧几里得算法（辗转相除法）只能用来求两个数的最大公约数：\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)。而扩展欧几里得算法不仅能求出 \(\gcd(a, b)\)，还能额外求出满足裴蜀定理（Bézout's identity）的两个整数 \(x\) 和 \(y\)，使得：

\[ax + by = \gcd(a, b) \]

思路

这个算法的核心思想是递归和状态转移。边界情况（递归到底层）： 当 \(b = 0\) 时，\(\gcd(a, 0) = a\)。此时我们需要满足等式 \(a \cdot x + 0 \cdot y = a\)。显然，这组解非常直观：\(x = 1, y = 0\)。回溯过程（状态转移）：假设我们已经递归进入下一层，求出了关于 \(b\) 和 \(a \bmod b\) 的方程的解 \(x_1\) 和 \(y_1\)，即：$$b \cdot x_1 + (a \bmod b) \cdot y_1 = \gcd(a, b)$$在 C++ 等编程语言中，取模运算可以通过整除来表示：\(a \bmod b = a - \lfloor a/b \rfloor \cdot b\)。我们把这个替换掉上面等式中的 \(a \bmod b\)：$$b \cdot x_1 + (a - \lfloor a/b \rfloor \cdot b) \cdot y_1 = \gcd(a, b)$$现在，我们将这个式子展开，并把含有 \(a\) 和含有 \(b\) 的项重新合并提取公因式：$$a \cdot y_1 + b \cdot (x_1 - \lfloor a/b \rfloor \cdot y_1) = \gcd(a, b)$$最后，将这个展开后的式子与我们原本要求的最高层等式 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 进行对比。对应系数相等，就可以得到当前层的 \(x\) 和 \(y\) 与下一层的 \(x_1\) 和 \(y_1\) 之间的递推关系：\(x = y_1\) \(y = x_1 - \lfloor a/b \rfloor \cdot y_1\)

模板代码

#include <iostream>

// 函数返回值为 a 和 b 的最大公约数 (gcd)
// 参数 x 和 y 通过引用传递，执行完毕后将保存满足 ax + by = gcd(a,b) 的解
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a; // 边界情况：gcd(a, 0) = a
    }
    
    int x1, y1;
    // 递归调用，先求出下一层的解 x1 和 y1
    int d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    
    // 根据推导出的状态转移方程更新当前层的解
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    
    return d; // 向上层层传递最大公约数
}

int main() {
    int a = 120, b = 23;
    int x, y;
    int gcd = exgcd(a, b, x, y);
    
    std::cout << "gcd(" << a << ", " << b << ") = " << gcd << "\n";
    std::cout << a << " * (" << x << ") + " << b << " * (" << y << ") = " << gcd << "\n";
    
    return 0;
}